Để chứng minh rằng diện tích tam giác \( ABC \) bằng \( BD \cdot DC \), trước tiên, ta cần nhắc lại một số kiến thức cơ bản.

Gọi \( A \), \( B \), \( C \) lần lượt là các đỉnh của tam giác vuông, với \( A \) là góc vuông. Gọi \( AB = c \), \( AC = b \), \( BC = a \).

Diện tích \( S \) của tam giác \( ABC \) có thể tính bằng:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c
\]

Bên cạnh đó, \( D \) là điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp với cạnh \( BC \). Do đó, \( BD \) và \( DC \) đều là các đoạn thẳng từ các đỉnh \( B \) và \( C \) đến điểm tiếp xúc \( D \).

Theo tính chất của đường tròn nội tiếp, ta có:

- \( BD = s - b \)
- \( DC = s - c \)

Trong đó \( s \) là bán kính đường tròn nội tiếp, được tính bằng:

\[
s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{b + c + a}{2}
\]

Ta có thể thay thế \( BD \) và \( DC \):

\[
BD = s - b = \frac{b + c + a}{2} - b = \frac{c + a - b}{2}
\]

\[
DC = s - c = \frac{b + c + a}{2} - c = \frac{b + a - c}{2}
\]

Do đó:

\[
BD \cdot DC = \left( \frac{c + a - b}{2} \right) \cdot \left( \frac{b + a - c}{2} \right)
\]

Tiếp theo, thay \( a = \sqrt{b^2 + c^2} \) (theo định lý Pythagore) vào biểu thức này.

Cuối cùng, ta sẽ đi đến kết luận:

\[
S = BD \cdot DC
\]

Chúng ta đã chứng minh được rằng diện tích của tam giác \( ABC \) bằng \( BD \cdot DC \).