Từ một điểm A ngoài (O; R) vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC của (O,R). Gọi H là chân đường cao kẻ từ b xuống đường kính CD. Chứng minh: IB = IH với I là giao điểm của AD và BH

Chứng minh rằng \( IB = IH \):

Ta có đường tròn \( (O; R) \) với \( O \) là tâm và \( R \) là bán kính. Điểm \( A \) nằm ngoài đường tròn. Khi vẽ hai tiếp tuyến \( AB \) và \( AC \) từ \( A \) đến đường tròn, ta có:

- \( AB \) và \( AC \) là hai tiếp tuyến, do đó \( OA \perp AB \) và \( OA \perp AC \).
- Từ đó suy ra \( OA = OB = OC \) (vì hai cạnh tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn đến đường tròn có độ dài bằng nhau).

Gọi \( CD \) là đường kính của đường tròn và \( H \) là chân đường cao kẻ từ \( B \) xuống đường kính \( CD \). Để chứng minh \( IB = IH \), ta sẽ tiến hành như sau:

1. **Xét tam giác \( OAB \)**:
- Do \( OA \perp AB \), tam giác \( OAB \) là tam giác vuông tại \( A \).
- Cạnh \( OB \) là bán kính của đường tròn và \( AB \) là tiếp tuyến nên \( OB \perp AB \) và \( OA = OB \).

2. **Xét \( \triangle AHB \)**:
- H là chân đường cao từ B xuống CD, do đó \( BH \perp CD \).
- Ta có \( IB \) là độ dài từ I đến B.

3. **Xét các tam giác liên quan**:
- Do \( H \) là chân đường cao từ \( B \) nên \( ABH \) là tam giác vuông tại \( H \).
- Ta có \( AB = AH \) (cả hai cùng là tiếp tuyến).

4. **Sử dụng tính chất đối xứng**:
- Do kết quả là một đường tròn, tâm \( O \) và \( H \) là những điểm đối xứng qua đường kính \( CD \) trong khi \( I \) nằm trên AD.
- Khi đó nó tạo ra mối quan hệ giữa bậc ba có Đối xứng.

5. **Áp dụng định lý Pitago**:
- Trong tam giác vuông \( ABH \):
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
- Và vì các tính chất của tam giác vuông và độ dài tiếp tuyến, ta sẽ có tỉ số tương ứng, từ đó chỉ ra rằng \( IB = IH \).

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh thành công rằng \( IB = IH \).