Để giải phương trình:

\[
\frac{6}{-x^2 + 6x - 8} + \frac{x + 3}{x - 4} = \frac{x + 1}{x - 2}
\]

Chúng ta bắt đầu bằng cách phân tích biểu thức trong mẫu số đầu tiên:

\[
-x^2 + 6x - 8 = - (x^2 - 6x + 8) = - (x - 2)(x - 4)
\]

Thay vào phương trình, ta có:

\[
\frac{6}{-(x - 2)(x - 4)} + \frac{x + 3}{x - 4} = \frac{x + 1}{x - 2}
\]

Đưa phương trình về cùng mẫu số, chúng ta nhân cả hai bên với \(-(x - 2)(x - 4)\) (lưu ý điều kiện không để mẫu số bằng 0):

\[
6 + (x + 3)(x - 2) = (x + 1)(x - 4)
\]

Mở rộng các biểu thức:

- Bên trái:
\[
6 + x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x
\]

- Bên phải:
\[
(x + 1)(x - 4) = x^2 - 4x + x - 4 = x^2 - 3x - 4
\]

Giờ ta có phương trình:

\[
x^2 + x = x^2 - 3x - 4
\]

Rút gọn:

\[
x + 3x + 4 = 0 \Rightarrow 4x + 4 = 0 \Rightarrow 4x = -4 \Rightarrow x = -1
\]

Cuối cùng, chúng ta cần kiểm tra điều kiện:

- \(x \neq 2\)
- \(x \neq 4\)

Với \(x = -1\), không vi phạm điều kiện trên.

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{-1}
\]