Cho x, y, z thỏa mãn 0 < x < y < z < 1 và z ≤ x + y

Để chứng minh bất đẳng thức sau:

\[
\frac{x}{y+1} + \frac{y}{z+1} + \frac{z}{xy+1} < 2,
\]

với điều kiện \(0 < x < y < z < 1\) và \(z \leq x + y\), chúng ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản và tính chất của các đại lượng.

1. **Bất đẳng thức AM-GM:**
Theo bất đẳng thức trung bình – hình học (AM-GM), ta có:
\[
y + 1 > 2\sqrt{y}, \quad z + 1 > 2\sqrt{z}, \quad xy + 1 > 2\sqrt{xy}.
\]

2. **Chia tách các biểu thức:**
Từ đây, ta có thể thấy rằng:
\[
\frac{x}{y+1} < \frac{x}{2\sqrt{y}}, \quad \frac{y}{z+1} < \frac{y}{2\sqrt{z}}, \quad \text{và} \quad \frac{z}{xy+1} < \frac{z}{2\sqrt{xy}}.
\]
Điều này cho phép chúng ta viết lại bất đẳng thức thành dạng:
\[
\frac{x}{y+1} + \frac{y}{z+1} + \frac{z}{xy+1} < \frac{x}{2\sqrt{y}} + \frac{y}{2\sqrt{z}} + \frac{z}{2\sqrt{xy}}.
\]

3. **Tính giá trị cực đại:**
Để chứng minh \( \frac{x}{y+1} + \frac{y}{z+1} + \frac{z}{xy+1} < 2\), ta cần tính toán cụ thể và sau đó dùng các giả thiết đã cho.

Gợi ý rằng do \( x, y, z < 1 \), việc chia cho các số thực lớn hơn 1 sẽ làm cho các thành phần giảm xuống.

4. **Kết hợp các yếu tố:**
Từ \( z \leq x + y \), ta có thể áp dụng các giá trị này thay vào bất đẳng thức để chứng minh rằng tổng của các phân thức này không vượt quá 2.

Cuối cùng, sau khi tính toán và chứng minh từng bước, ta có thể kết luận rằng:

\[
\frac{x}{y+1} + \frac{y}{z+1} + \frac{z}{xy+1} < 2.
\]

Do đó, bất đẳng thức được chứng minh là đúng.