Để giải bài toán cho tam giác ABC vuông tại điểm A với AB > AC, ta tiến hành từng phần như sau:

### a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật

Ta cần chứng minh rằng ADME là hình chữ nhật, nghĩa là:
1. Có bốn cạnh.
2. Có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.
3. Có bốn góc đều bằng 90 độ.

**Bước 1:**
- Từ điều kiện \( MD \perp AB \) và \( ME \perp AC \), suy ra hai góc AMD và AME đều bằng 90 độ.

**Bước 2:**
- Theo định nghĩa, AM là trung tuyến, nên \( AM = \frac{1}{2} BC \).

**Bước 3:**
- Từ tam giác vuông ABC, có:
\[
AD = AC \quad \text{và} \quad AE = AB
\]
Do đó, \( AD \) và \( ME \) là những đoạn vuông góc với nhau, nên \( ADME \) có bốn góc vuông.

Vậy, tứ giác ADME là hình chữ nhật.

### b) Gọi O là trung điểm của ME

**Chứng minh DM = EC:**
- Bởi vì O là trung điểm của ME, nên \( MO = OE \).

Xét tam giác vuông DME và ECM:
- Cả hai tam giác đều có chiều cao bằng nhau và cùng đáy, nên:
\[
DM = EC.
\]

### c) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC

**Chứng minh rằng AK vuông góc với IC:**
- Gọi \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- Theo xây dựng, \( HK = HB \) và \( HI = HA \).

Vậy,:
- Tam giác AKH vuông tại \( K \).
- Tam giác IHC vuông tại \( C \).

Khi đó, từ tính chất của các tam giác vuông cho thấy:
\[
AK \perp IC.
\]

### Kết luận
Ta đã chứng minh được các tính chất và đặc điểm của hình học trong bài toán một cách chi tiết.