Để tìm hai số tự nhiên \( m \) và \( n \) sao cho phương trình

\[
18mn + 6^n = 222
\]

thỏa mãn, ta sẽ phân tích phương trình này.

Trước tiên, ta sẽ là khuếch đại phương trình bằng cách đưa \( 6^n \) sang một phía:

\[
18mn = 222 - 6^n
\]

Ta biết rằng \( 6^n \) là một số không âm. Do đó, \( 222 - 6^n \) phải là một số không âm, nghĩa là:

\[
222 - 6^n \geq 0 \Rightarrow 6^n \leq 222
\]

Bây giờ, ta sẽ xem xét các giá trị của \( n \):

- Với \( n = 0 \):
\[
6^0 = 1 \Rightarrow 18mn + 1 = 222 \Rightarrow 18mn = 221 \Rightarrow mn = \frac{221}{18} \text{ (không nguyên)}
\]

- Với \( n = 1 \):
\[
6^1 = 6 \Rightarrow 18mn + 6 = 222 \Rightarrow 18mn = 216 \Rightarrow mn = 12
\]
Các cặp \( (m, n) \) là \( (1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1) \).

- Với \( n = 2 \):
\[
6^2 = 36 \Rightarrow 18mn + 36 = 222 \Rightarrow 18mn = 186 \Rightarrow mn = 10.33 \text{ (không nguyên)}
\]

- Với \( n = 3 \):
\[
6^3 = 216 \Rightarrow 18mn + 216 = 222 \Rightarrow 18mn = 6 \Rightarrow mn = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \text{ (không nguyên)}
\]

- Với \( n = 4 \):
\[
6^4 = 1296 \text{ (vượt quá 222)}
\]

Tóm lại, chỉ có một trường hợp là \( n = 1 \) cho \( mn = 12 \). Các cặp số tự nhiên \( (m, n) \) thỏa mãn là:

- \( (1, 12) \)
- \( (2, 6) \)
- \( (3, 4) \)
- \( (4, 3) \)
- \( (6, 2) \)
- \( (12, 1) \)

Các số tự nhiên \( m \) và \( n \) có thể là một trong các cặp trên, với \( n \) là số hạng, có thể được quyết định tùy ý trong trường hợp này, vì không có yêu cầu cụ thể nào cho \( m \) và \( n \).