Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của AB. Qua M kẻ đường thẳng song song với BC, đường thẳng này cắt AC tại N

Để chứng minh BMNC là hình thang, chúng ta cần chứng minh rằng hai cạnh BM và NC là hai đoạn thẳng song song với nhau.

1. **Giả sử tam giác ABC cân tại A:** Có nghĩa là \( AB = AC \).

2. **M là trung điểm của AB:** Từ đó, ta có \( AM = MB \).

3. **Vì đường thẳng MN song song với BC:** Theo định nghĩa, có nghĩa là góc AMN = góc ABC và góc BMN = góc ACB.

4. **Đường thẳng NP song song với AB:** Điều này cho thấy rằng góc ANP = góc ABM và góc BNP = góc ACM.

5. **Xét hai tam giác AMN và ABM:**
- Ta có góc AMN = góc ABC (vì MN // BC)
- Ta cũng có \( AM = MB \) (M là trung điểm của AB).
- Do đó, tam giác AMN và tam giác ABM có góc và cạnh đối diện tương ứng bằng nhau. Như vậy, chúng đồng dạng.

6. **Giả thiết tương tự cho các góc:** Tương tự, xét hai tam giác ANP và ACM, ta cũng có góc ANP = góc ABM (vì NP // AB) và AC = AB (vì tam giác cân).

7. **Kết luận:** Vì MN song song với BC và NP song song với AB, điều đó chứng minh rằng BM // NC.

=> Vậy BMNC là hình thang có hai cạnh BM và NC song song với nhau.

Điều này hoàn thành chứng minh.