Cho tam giác ABC có ∠A = 90°, AB = AC. Qua A vẽ đường thẳng d cắt đường thẳng BC tại điểm M sao cho hai điểm B, C nằm cùng phía đối với M

Để chứng minh rằng \( BD = AE \) và \( AD = CE \), ta theo các bước sau:

1. **Thiết lập tam giác**: Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), với \( AB = AC \). Do đó, tam giác \( ABC \) là tam giác vuông cân.

2. **Đường thẳng \( d \)**: Vẽ đường thẳng \( d \) qua \( A \) cắt đường thẳng \( BC \) tại điểm \( M \) sao cho hai điểm \( B \) và \( C \) nằm cùng phía đối với \( M \).

3. **Gọi các điểm**: Đặt \( BD \) và \( CE \) vuông góc với \( d \) tại các điểm \( D \) và \( E \) tương ứng.

### Chứng minh:

1. **Chứng minh \( \triangle ABD \cong \triangle AEC \)**:
- \( AB = AC \) (cạnh đã cho).
- \( AD = AE \) (cả hai đều vuông góc với \( d \)).
- \( \angle ADB = \angle AEC = 90^\circ \) (cả hai đều là góc vuông).

Suy ra, theo tiêu chuẩn cạnh – góc – cạnh (C.G.C), ta có:
\[
\triangle ABD \cong \triangle AEC
\]

2. **Từ sự đồng dạng này**:
- \( BD = AE \) (cạnh đối diện trong hai tam giác đồng dạng).
- Tương tự, ta cũng áp dụng cho \( AD \) và \( CE \):
\[\]
Từ đó, ta có thêm \( AD = CE \) (cạnh đối diện trong hai tam giác đồng dạng).

### Kết luận:
Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\[
BD = AE \quad \text{và} \quad AD = CE
\]
Như vậy, điều cần chứng minh đã hoàn thành.