Cho hàm số \( f(x) \) có đạo hàm trên \( \mathbb{R} \) là \( f'(x)=(x-1)(x+3) \). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \([-10;20]\) để hàm số \( y=f(x^3+3x-m) \) đồng biến trên khoảng \((0;2)?\)

Để xác định số giá trị nguyên của tham số \( m \) mà hàm số \( y = f(x^3 + 3x - m) \) đồng biến trên khoảng \((0; 2)\), ta cần tìm điều kiện đồng biến của hàm này.

1. **Tính đạo hàm**:
Ta có \( y = f(x^3 + 3x - m) \). Áp dụng quy tắc chuỗi, ta tính đạo hàm của \( y \):
\[
y' = f'(x^3 + 3x - m) \cdot (3x^2 + 3).
\]

2. **Đồng biến**:
Để hàm số \( y \) đồng biến trên khoảng \((0, 2)\), ta cần \( y' \geq 0 \) trên khoảng này.
Do \( 3x^2 + 3 > 0 \) với mọi \( x \), suy ra chỉ cần \( f'(x^3 + 3x - m) \geq 0 \) trên \((0, 2)\).

3. **Phân tích đạo hàm \( f'(x) \)**:
Ta biết rằng \( f'(x) = (x - 1)(x + 3) \):
- \( f'(x) = 0 \) tại \( x = 1 \) và \( x = -3 \).
- \( f'(x) < 0 \) khi \( x \in (-\infty, -3) \) và \( x \in (1, \infty) \).
- \( f'(x) > 0 \) khi \( x \in (-3, 1) \).

4. **Tìm giá trị của \( m \)**:
Để \( f'(x^3 + 3x - m) \geq 0 \), ta cần \( x^3 + 3x - m \in (-3, 1) \) với \( x \in (0, 2) \):
- Tính giá trị của biểu thức tại \( x = 0 \):
\[
x^3 + 3x = 0 \Rightarrow 0 - m > -3 \Rightarrow m < 3.
\]
- Tính giá trị của biểu thức tại \( x = 2 \):
\[
x^3 + 3x = 8 + 6 = 14 \Rightarrow 14 - m < 1 \Rightarrow m > 13.
\]

5. **Tổng hợp điều kiện**:
Ta có \( m < 3 \) và \( m > 13 \). Tuy nhiên, hai điều kiện này không thể cùng tồn tại. Do đó, không có giá trị nào của \( m \) thỏa mãn điều kiện.

6. **Kết luận**:
Vậy số giá trị nguyên của \( m \) thuộc đoạn \([-10; 20]\) để hàm số \( y = f(x^3 + 3x - m) \) đồng biến trên khoảng \((0; 2)\) là:
\[
\boxed{0}.
\]