Cho tam giác ABC, các trung tuyến BM và CN cắt nhau ở G. Gọi P là điểm sao cho G là trung điểm của MP. Gọi Q là điểm sao cho G là trung điểm của NQ

Để giải bài này, ta sẽ lần lượt phân tích từng phần của bài 2 và các bài tiếp theo.

### Bài 2

**a)** Tứ giác \(MNPQ\) là hình gì? Vì sao?

- Theo định nghĩa, \( G \) là trung điểm của \( MP \) và \( NQ \). Từ việc \( G \) là trung điểm của các đoạn thẳng \( MP \) và \( NQ \), ta có \( MG = GP \) và \( NG = GQ \).
- Do trung điểm của các cạnh của tứ giác, và với các cặp đoạn thẳng song song \( MN \) và \( PQ \) (do tính chất của trung tuyến trong tam giác), tứ giác \( MNPQ \) là hình bình hành.

**b)** Trên tia đối của \( MN \), lấy điểm \( E \) sao cho \( AM = NM \). Chứng minh \( EQ = MP \).

- Ta có \( AM = NM \) - từ định nghĩa điểm \( E \).
- Với \( G \) là trung điểm của \( MP \), ta có \( MG = GP \).
- Chứng minh rằng \( EQ \) cũng bằng \( MP \) có thể thực hiện bằng cách sử dụng tính chất của các đoạn thẳng và trung điểm.

### Bài 3

**a)** Chứng minh rằng tứ giác \( AKCI \) là hình bình hành.

- Ta thấy rằng \( K \) là trung điểm của \( AB \) và \( I \) là trung điểm của \( CD \). Do đó, \( KI \) có thể được chứng minh là một đoạn thẳng song song với \( AC \).
- Hơn nữa, bằng các tính chất của trung điểm và đoạn thẳng song song, ta có thể chứng minh \( AK \) song song với \( CI \), từ đó \( AKCI \) là hình bình hành.

**b)** Chứng minh rằng \( DM = MN = NB \).

- Sử dụng tính chất của trung điểm và các đoạn thẳng này có thể được chứng minh bằng cách so sánh các đoạn thẳng.

### Bài 4

- **Cho \( \triangle ABC \), trung tuyến \( AM \). Gọi \( D \) là giao điểm của \( AM \) và \( AC \)**.
- Chứng minh rằng \( AD = \frac{1}{3} AC \).

- Để chứng minh, ta có thể sử dụng định lý Thales hoặc phân tích tỉ lệ các cạnh dựa trên tính chất của trung tuyến.

Tất cả các bước giải bài này cần cung cấp thêm chi tiết hoặc hình vẽ bổ trợ để rõ ràng hơn cho định lý và phép chứng minh.