Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

Để giải bài toán về tam giác vuông ABC tại A, trong đó đã cho các thông tin như sau:

### a) Tính AH, AB khi AC = 12 và góc ACB = 36 độ

Trong tam giác vuông ABC tại A, chúng ta có:
- AC = 12
- ACB = 36 độ

Từ đó, ta có thể tính các cạnh còn lại, sử dụng định lý sin.

1. **Tính AB**:
- Theo định lý sin trong tam giác ABC, ta có:
\[
\frac{AB}{\sin ACB} = \frac{AC}{\sin ABC}
\]
- Chúng ta cần tính góc ABC:
\[
ABC = 90^\circ - ACB = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ
\]
- Cũng theo định lý sin, ta có:
\[
\frac{AB}{\sin 36^\circ} = \frac{12}{\sin 54^\circ}
\]
- Tính sin của các góc:
- \(\sin 36^\circ \approx 0.5878\)
- \(\sin 54^\circ \approx 0.8090\)

- Thay vào công thức:
\[
AB = \frac{12 \cdot \sin 36^\circ}{\sin 54^\circ} \approx \frac{12 \cdot 0.5878}{0.8090} \approx 8.689
\]

2. **Tính AH**:
- Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}
\]

- Tính BC:
\[
BC^2 \approx 8.689^2 + 12^2 \approx 75.6 + 144 \approx 219.6 \Rightarrow BC \approx 14.82
\]

- Đường cao AH trong tam giác vuông có công thức:
\[
AH = \frac{AC \cdot AB}{BC} \approx \frac{12 \cdot 8.689}{14.82} \approx 7.05
\]

### b) Chứng minh \( AB \cdot \cos ABC + AC \cdot \cos ACB = BC \)

Sử dụng công thức cos cho các cạnh trong tam giác:
- \(\cos ABC = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{BC}\)
- \(\cos ACB = \frac{AB}{BC}\)

Ta có:
\[
AB \cdot \cos ABC = AB \cdot \frac{12}{BC}
\]
\[
AC \cdot \cos ACB = AC \cdot \frac{AB}{BC}
\]

Ghép lại:
\[
AB \cdot \frac{12}{BC} + 12 \cdot \frac{AB}{BC} = \frac{12AB + 12AB}{BC} = 2 \cdot \frac{12AB}{BC} = BC
\]
Vậy phương trình đúng.

### c) Chứng minh MK đi qua trung điểm BC

1. **Tìm điểm M**:
- M là hình chiếu của C trên BD (đường phân giác).
- BD là đường phân giác, nên BM/MD = AB/AC.

2. **Tìm K**:
- K là hình chiếu của M trên AC.

3. **Trung điểm BC**:
- Giả sử trung điểm BC là D.
- Có thể chứng minh rằng TM (trong đó T là trung điểm BC) đồng thời là đoạn thẳng MK, vì tứ giác BMDC là hình chữ nhật.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh MK đi qua trung điểm BC.

Hy vọng với các phép tính và lý luận trên các bạn có thể hiểu rõ hơn về tam giác vuông ABC trong bài toán này.