Cho tam giác ABC, AH vuông góc BC tại H, M là trung điểm của BC. Sao cho BAH = HAM = MAC = alpha. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A

Để chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A, với các giả thiết như sau:

- AH vuông góc với BC tại H.
- M là trung điểm của BC.
- Góc BAH = góc HAM = góc MAC = α.

Chúng ta thực hiện các bước chứng minh sau đây:

1. **Xét các góc**:
- Theo giả thiết, ta có BAH = HAM = MAC = α.
- Suy ra, tổng các góc: BAH + HAM + MAC = α + α + α = 3α.

2. **Tính góc BMC**:
- Vì M là trung điểm của BC, nên tam giác BMC có thể được chia thành hai tam giác nhỏ: BAH và MAC.
- Do đó, góc BMC = 180° – (BAH + MAC) = 180° - (2α).
- Góc BMC cũng bằng góc AHM (do AH vuông góc với BC).

3. **Tính góc AHM**:
- Theo giả thiết, góc AHM là góc vuông (do AH vuông góc với BC).
- Suy ra: góc AHM = 90°.

4. **Kết hợp với định lý về tổng các góc**:
- Ta có: góc BMC = 180° - 90° = 90°.
- Do đó, từ bước 2: 180° - 2α = 90°.
- Giải phương trình trên: 2α = 90° => α = 45°.

5. **Kết luận**:
- Với α = 45°, ta có:
- Góc BAH = 45°,
- Góc HAM = 45°,
- Góc MAC = 45°.
- Như vậy, các góc tại A là một phần của góc vuông, cho thấy tam giác ABC vuông tại A.

Vậy chúng ta đã chứng minh được rằng tam giác ABC vuông tại A.