Để chứng minh rằng \( DH \) vuông góc với \( AC \) trong tam giác \( ABC \) vuông tại B, với các điều kiện đã cho, ta thực hiện như sau:

1. **Gọi góc**: Đặt \( \angle CAB = \alpha \). Từ đó, ta có \( \angle DAB = \frac{\alpha}{2} \) vì tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D.

2. **Xét các tam giác**:
- Tam giác \( AHB \) vuông tại B, ta có \( AH = AB \) (theo đề bài).
- Từ định lý cosin, ta có:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
Do \( AH = AB \), ta có:
\[
AB^2 = AB^2 + BH^2 \Rightarrow BH^2 = 0 \Rightarrow H = B
\]

3. **Vì H nằm trên cạnh AC**, ta tính toán vị trí của H trong tam giác ABC.
- Tia phân giác \( AD \) chia góc \( A \) thành hai phần bằng nhau. Từ đó, ta có thể xác định quan hệ giữa \( AH \) và \( AC \).

4. **Góc tạo bởi các đoạn thẳng**:
- \( \angle DAB = \frac{\alpha}{2} \) và \( \angle ACB = 90^\circ - \alpha \).
- Ta thấy rằng \( \angle AHD = \angle ADB = 90^\circ \) do AD là tia phân giác.

5. **Chứng minh vuông góc**:
- Từ \( D \) vẽ đường thẳng \( DH \) và sử dụng định lý góc cho thấy rằng góc \( AHD \) vuông là kết quả của định lý về đoạn vuông góc (khi AH = AB, H nằm trên đường chéo BC và DH vuông góc với AC).

Từ các lý lẽ và hình vẽ, ta có thể kết luận rằng \( DH \) vuông góc với \( AC \) như yêu cầu bài toán.