a) Tứ giác AKHD là hình thang. Bởi vì tứ giác này có hai cạnh đối song song: cạnh AK và cạnh HD đều song song với đường thẳng BC, do đó có thể coi đây là các cạnh đối của một hình thang.

b) Để chứng minh tứ giác AHBD là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối AB và AH, BD và AH đều vuông góc với nhau.

- Giả sử tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao từ A xuống BC. Do đó, đoạn AH vuông góc với BC.
- Vì I là trung điểm của AB và K là điểm đối xứng với B qua H, nên IH = IB = 5cm (vì AB = 10cm, I là trung điểm).
- Do đó, phần AHB sẽ vuông góc với AB. Và HI cũng bố trí vuông góc với AB.

Từ đó, ta có:
- AH vuông góc với cả BC và AB, tức là AH vuông góc với cả BD (do BD song song với AH).

Vậy cả hai cặp cạnh đối vuông góc, do đó tứ giác AHBD là hình chữ nhật.

Tính diện tích của tứ giác AHBD:
Diện tích \( S \) của hình chữ nhật được tính bằng công thức:

\[ S = AB \cdot AH = 10 \, cm \cdot 6 \, cm = 60 \, cm^2 \]

c) Để tứ giác AHBD trở thành hình vuông, cần có điều kiện là AB = AH. Điều này có nghĩa là chiều dài AB (cạnh của tam giác) phải bằng chiều cao AH. Khi đó, các cạnh trên và dưới của tứ giác không chỉ vuông góc mà còn bằng nhau, hình thành một hình vuông.