Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

Để chứng minh bất đẳng thức:

\[
\frac{1}{a^2 + b^2 + abc} + \frac{1}{b^2 + c^2 + abc} + \frac{1}{c^2 + a^2 + abc} \leq \frac{1}{abc}
\]

cho các số dương \( a, b, c \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các số hạng bên trái:

\[
\left( \frac{1}{a^2 + b^2 + abc} + \frac{1}{b^2 + c^2 + abc} + \frac{1}{c^2 + a^2 + abc} \right) \left( (a^2 + b^2 + abc) + (b^2 + c^2 + abc) + (c^2 + a^2 + abc) \right) \geq (1 + 1 + 1)^2
\]

Khi tính tổng phần thứ hai:

\[
(a^2 + b^2 + abc) + (b^2 + c^2 + abc) + (c^2 + a^2 + abc) = 2(a^2 + b^2 + c^2) + 3abc
\]

Do đó, bất đẳng thức trở thành:

\[
\left( \frac{1}{a^2 + b^2 + abc} + \frac{1}{b^2 + c^2 + abc} + \frac{1}{c^2 + a^2 + abc} \right)(2(a^2 + b^2 + c^2) + 3abc) \geq 9
\]

Từ đó ta có:

\[
\frac{1}{a^2 + b^2 + abc} + \frac{1}{b^2 + c^2 + abc} + \frac{1}{c^2 + a^2 + abc} \geq \frac{9}{2(a^2 + b^2 + c^2) + 3abc}
\]

Chúng ta cần chứng minh:

\[
\frac{9}{2(a^2 + b^2 + c^2) + 3abc} \leq \frac{1}{abc}
\]

Hay tương đương:

\[
9abc \leq 2(a^2 + b^2 + c^2) + 3abc
\]

Suy ra:

\[
6abc \leq 2(a^2 + b^2 + c^2)
\]

Chia hai vế cho 2 và sắp xếp lại, ta có:

\[
3abc \leq a^2 + b^2 + c^2
\]

Bất đẳng thức này đúng theo bất đẳng thức AM-GM:

\[
\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} \geq \sqrt[3]{a^2b^2c^2}
\]

Bằng cách áp dụng bất đẳng thức AM-GM với điều kiện \( a = x, b = y, c = z \) được đưa ra, ta dễ dàng đi đến kết luận.

Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức cần thiết.