Để giải phương trình diophantine \(x^2 + 4x + y^2 = 1\), trước tiên, chúng ta có thể biến đổi phương trình này để dễ dàng phân tích hơn.

Bắt đầu bằng cách hoàn thành bình phương cho phần \(x\):

\[
x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4
\]

Thay vào phương trình ban đầu, ta có:

\[
(x + 2)^2 - 4 + y^2 = 1
\]

Điều này dẫn đến:

\[
(x + 2)^2 + y^2 = 5
\]

Bây giờ, phương trình này biểu diễn một vòng tròn với tâm tại điểm \((-2, 0)\) và bán kính \(\sqrt{5}\).

Để tìm các nghiệm nguyên \((x, y)\), ta cần tìm các cặp số nguyên \((x + 2, y)\) sao cho tổng bình phương của chúng bằng 5. Các cặp số nguyên thỏa mãn \(a^2 + b^2 = 5\) (với \(a = x + 2\) và \(b = y\)) là:

1. \( (1, 2) \)
2. \( (1, -2) \)
3. \( (-1, 2) \)
4. \( (-1, -2) \)
5. \( (2, 1) \)
6. \( (2, -1) \)
7. \( (-2, 1) \)
8. \( (-2, -1) \)

Bây giờ hãy tính các giá trị của \(x\) từ \(a = x + 2\):

1. \( (1, 2) \) \(\Rightarrow\) \(x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1\), \(y = 2\)
2. \( (1, -2) \) \(\Rightarrow\) \(x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1\), \(y = -2\)
3. \( (-1, 2) \) \(\Rightarrow\) \(x + 2 = -1 \Rightarrow x = -3\), \(y = 2\)
4. \( (-1, -2) \) \(\Rightarrow\) \(x + 2 = -1 \Rightarrow x = -3\), \(y = -2\)
5. \( (2, 1) \) \(\Rightarrow\) \(x + 2 = 2 \Rightarrow x = 0\), \(y = 1\)
6. \( (2, -1) \) \(\Rightarrow\) \(x + 2 = 2 \Rightarrow x = 0\), \(y = -1\)
7. \( (-2, 1) \) \(\Rightarrow\) \(x + 2 = -2 \Rightarrow x = -4\), \(y = 1\)
8. \( (-2, -1) \) \(\Rightarrow\) \(x + 2 = -2 \Rightarrow x = -4\), \(y = -1\)

Tóm lại, các nghiệm nguyên \((x, y)\) của phương trình \(x^2 + 4x + y^2 = 1\) là:

\[
(-1, 2), \quad (-1, -2), \quad (-3, 2), \quad (-3, -2), \quad (0, 1), \quad (0, -1), \quad (-4, 1), \quad (-4, -1).
\]