**Bài 5:**

**a)** Để chứng minh rằng M, O, P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng, ta có thể sử dụng tính chất đối xứng trong hình thoi và tính chất của các điểm M, N, P, Q mà ta đã xây dựng.

1. Gọi \( AM = CN = CP = AQ = x \).
2. Do \( O \) là trung điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) trong hình thoi, nên \( O \) chia cả đường chéo thành 2 đoạn bằng nhau.
3. Sử dụng hệ tọa độ, hãy cho các đỉnh của hình thoi \( A(0, b), B(a, 0), C(0, -b), D(-a, 0) \). Từ đó, tính toán tọa độ của các điểm \( M, N, P, Q \).

Tọa độ của O là trung điểm của hai đường chéo:

\[
O\left(0, 0\right)
\]

Tọa độ:
- \( M\left(x, 0\right) \)
- \( N\left(a, y\right) \)
- \( P\left(-x, 0\right) \)
- \( Q\left(-b, -y\right) \)

Ta có:

\[
\text{Điểm } M: x \text{ nằm trên đường thẳng } AB
\]
\[
\text{Điểm } N: y \text{ nằm trên đường thẳng } BC
\]
\[
\text{Điểm } P: -x \text{ nằm trên đường thẳng } CD
\]
\[
\text{Điểm } Q: -y \text{ nằm trên đường thẳng } DA
\]

Do đó, M, O, P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng vì O là trung điểm của hai đường chéo trong hình thoi.

**b)** Để chứng minh MNPQ là hình chữ nhật, ta cần kiểm tra tính vuông góc của các cạnh và độ dài của các cạnh.

1. Xét MNPQ:
- \( MN \) là cạnh trên, \( NP \) là cạnh bên.
- Tính chiều dài các cạnh:
- Kinh nghiệm cho thấy cạnh bên MNPQ sẽ song song với nhau.
- Khi \( AM = CN \) và \( CP = AQ \) thì các cạnh này sẽ có độ dài ngang nhau.

2. Quan sát hình ảnh:
- Gọi các điểm M, N, P, Q theo thứ tự sẽ tạo thành 2 điểm đối diện song song với trục hoành và các điểm đối diện song song với trục tung.
- Vì M, O, P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng cũng cho thấy tính chất đối xứng giúp ta kết luận rằng MNPQ là hình chữ nhật.

Như vậy, MNPQ là hình chữ nhật.

---

**Bài 6:**

**a)** Để xem AEDF là hình gì, ta cần xem xét điều kiện về độ dài và góc của AE, DF, AH và DE.

1. Điểm E nằm trên AC và F nằm trên AB.
2. Do ED // AB và DF // AC, tức là \(\angle AED = \angle ADF\).

=> Hình AEDF là một hình bình hành (nếu tiếp tục xét góc trong).

**b)** Để ADEF là hình thoi, ta tìm điều kiện cho D sao cho:
- AE = AF
- Để hai cạnh AE và AF bằng nhau, điểm D cần phải là trung điểm của BC, vì khi đó hai tam giác ADE và ADF sẽ đối xứng qua dường thẳng đi qua A.

Tóm lại, điểm D phải là trung điểm của BC để AEDF là hình thoi.