Tính (1+1/2+...+1/2021)x+2021=2022/1+2023/2+...+4042/2021

Để giải phương trình sau:

\[
(1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2021})x + 2021 = \frac{2022}{1} + \frac{2023}{2} + \ldots + \frac{4042}{2021}
\]

ta bắt đầu bằng cách tính tổng các số hạng ở bên phải của phương trình.

Các số hạng bên phải có thể được viết lại:

\[
\sum_{k=1}^{2021} \frac{2021 + k}{k} = \sum_{k=1}^{2021} \left( \frac{2021}{k} + 1 \right)
\]

Tách thành hai tổng:

\[
\sum_{k=1}^{2021} \frac{2021}{k} + \sum_{k=1}^{2021} 1 = 2021 \cdot \left( \sum_{k=1}^{2021} \frac{1}{k} \right) + 2021
\]

Hàm số liên quan là:

\[
H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}
\]

Với \( n = 2021 \), thì tổng trên trở thành:

\[
2021 H_{2021} + 2021
\]

Bên trái của phương trình là:

\[
(1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2021}) x + 2021
\]

Ký hiệu \( S = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2021} = H_{2021} \), ta có:

\[
Sx + 2021
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
Sx + 2021 = 2021 H_{2021} + 2021
\]

Trừ \( 2021 \) cả hai bên, ta có:

\[
Sx = 2021 H_{2021}
\]

Chia cả hai bên cho \( S \):

\[
x = \frac{2021 H_{2021}}{H_{2021}} = 2021
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{2021}
\]