Để chứng minh các phần trong bài toán về hình bình hành ABCD, bạn cần sử dụng một số tính chất cơ bản. Dưới đây là hướng dẫn cho từng phần:

### a) Chứng minh AECK là hình bình hành.
- **Chứng minh AE // CK**: Vì E và K là trung điểm của CD và AB, nên theo tính chất của hình bình hành, AE // CK.
- **Chứng minh AE = CK**: E và K là trung điểm, do đó đoạn AE bằng đoạn CK.
- Kết luận: AECK là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối diện vừa song song vừa bằng nhau.

### b) Chứng minh ba điểm O, E, K thẳng hàng.
- Chú ý rằng điểm O là giao điểm của các đường chéo BD và AC.
- Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AEC với đường thẳng đi qua ba điểm O, E và K:
- Lập tỉ số dựa trên tỉ lệ giữa các đoạn thẳng.
- Từ các tỉ số đó, bạn có thể chứng minh rằng ba điểm O, E, K thẳng hàng.

### c) Chứng minh DN = NM = MB.
- **Chứng minh DN = NM**: Xét tam giác BDN và BMC:
- Hai tam giác có chiều cao từ B bằng nhau và cạnh đáy DN và NM.
- Do đó, áp dụng định lý diện tích tương ứng cho hai tam giác, ta có DN = NM.

- **Chứng minh NM = MB**: Xét tam giác AMC và AMK. Hai tam giác này cũng giống như trên, thực hiện áp dụng tương tự.
- Kết luận: Từ những chứng minh trên, ta có DN = NM = MB.

Những chứng minh này sẽ giúp bạn hoàn thành bài toán và sử dụng tốt các tính chất của hình bình hành.