Để tính diện tích tam giác ABC, ta có thể sử dụng công thức diện tích cho tam giác khi biết hai cạnh và góc giữa chúng:

\[
S = \frac{1}{2} a b \sin C
\]

Ở đây, ta có:
- \( AC = 35 \, \text{cm} \)
- \( B = 60^\circ \)
- \( C = 50^\circ \)

Đầu tiên, ta tính \( A \):

\[
A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 60^\circ - 50^\circ = 70^\circ
\]

Vì \( AC \) là phía đối diện với góc \( B \), ta cần tìm cạnh \( AB \) trước để sử dụng công thức trên. Ta sử dụng định lý sin:

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]

Gọi \( AB = c \) và \( BC = a \). Ta có:

\[
\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin A}
\]

Từ đây:

\[
AB = \frac{AC \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{35 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 60^\circ}
\]

Tính toán:

- \( \sin 70^\circ \approx 0.9397 \)
- \( \sin 60^\circ \approx 0.8660 \)

\[
AB = \frac{35 \cdot 0.9397}{0.8660} \approx 39.5 \, \text{cm}
\]

Tiếp theo, tìm cạnh \( BC \):

\[
BC = \frac{AC \cdot \sin C}{\sin B} = \frac{35 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 60^\circ}
\]

- \( \sin 50^\circ \approx 0.7660 \)

\[
BC = \frac{35 \cdot 0.7660}{0.8660} \approx 30.9 \, \text{cm}
\]

Bây giờ chúng ta có các cạnh \( AB \) và \( AC \), giờ tiếp tục tính diện tích:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin B
\]

\[
S \approx \frac{1}{2} \cdot 39.5 \cdot 35 \cdot \sin 60^\circ
\]

Tính diện tích:

\[
S \approx \frac{1}{2} \cdot 39.5 \cdot 35 \cdot 0.8660
\]
\[
S \approx 60.266 \, \text{cm}^2
\]

Làm tròn đến hàng đơn vị:

\[
S \approx 60 \, \text{cm}^2
\]

Diện tích tam giác \( ABC \) là khoảng \( 60 \, \text{cm}^2 \).