Để tìm các số nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn các phương trình đã cho, chúng ta sẽ giải từng phương trình một.

### a) \( x^2 + 4x + 4 - 9y^2 = 7 \)

Đầu tiên, ta có thể rút gọn phương trình:

\[
x^2 + 4x + 4 - 7 - 9y^2 = 0
\]

or

\[
x^2 + 4x - 9y^2 - 3 = 0
\]

Đây là một phướng trình bậc 2 theo \( x \):

\[
x^2 + 4x + (-9y^2 - 3) = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm thực, thì cần có \(\Delta \geq 0\):

\[
\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9y^2 - 3) \geq 0
\]

\[
16 + 36y^2 + 12 \geq 0
\]

Điều này luôn đúng với mọi giá trị của \( y \). Vậy chúng ta có thể giải phương trình bậc 2 để tìm \( x \):

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{\Delta}}{2}
\]

\[
x = -2 \pm \sqrt{13 + 9y^2}
\]

Từ đây, \( \sqrt{13 + 9y^2} \) phải là một số nguyên (do \( x \) phải là số nguyên). Gọi \( \sqrt{13 + 9y^2} = k \) (với \( k \) là số nguyên), ta có:

\[
13 + 9y^2 = k^2 \Rightarrow k^2 - 9y^2 = 13
\]

Đây là một phương trình Pell loại bậc hai. Ta thử nghiệm với một số giá trị của \( y \):

- Nếu \( y = 0 \): \( k^2 = 13 \) (không có nghiệm nguyên)
- Nếu \( y = 1 \): \( k^2 = 22 \) (không có nghiệm nguyên)
- Nếu \( y = -1 \): \( k^2 = 22 \) (không có nghiệm nguyên)
- Nếu \( y = 2 \): \( k^2 = 49 \Rightarrow k = 7 \) (có nghiệm)
- \( x = -2 + 7 = 5 \) hoặc \( x = -2 - 7 = -9 \)
- Nếu \( y = -2 \): \( k^2 = 49 \) (tương tự như trên)

Tương tự kiểm tra các giá trị khác.

Phương trình có các cặp nghiệm nguyên \( (5, 2), (-9, 2), (5, -2), (-9, -2) \).

### b) \( x^2 + 2x - y^2 + 6y = 9 \)

Rút gọn phương trình:

\[
x^2 + 2x - y^2 + 6y - 9 = 0
\]

Tương tự, đây là phương trình bậc 2 theo \( x \):

\[
x^2 + 2x + (-y^2 + 6y - 9) = 0
\]

\(\Delta \geq 0\):

\[
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-y^2 + 6y - 9) \geq 0
\]

\[
4 + 4y^2 - 24y + 36 \geq 0
\]

\[
4y^2 - 24y + 40 \geq 0 \Rightarrow y^2 - 6y + 10 \geq 0
\]

Phương trình bậc 2 này có \(\Delta < 0\) nên luôn lớn hơn 0. Vậy \( y \) có thể tham gia vào tạo ra các số nguyên khác nhau.

Thử từng giá trị cụ thể của \( y \):

- Nếu \( y = 0 \): \( x^2 + 2x - 9 = 0 \)
- Nếu \( y = 1 \): \( x^2 + 2x - 4 = 0 \)
- Nếu \( y = -1 \): \( x^2 + 2x - 8 = 0 \)

Lặp lại như vậy cho các giá trị \( y \).

### c) \( x^2y + 3x^2 + y + 3 = 0 \)

Rút gọn và phân tích:

\[
x^2y + 3x^2 + y + 3 = 0
\]

Tách biến ra:

\[
y(x^2 + 1) + 3(x^2 + 1) = 0 \Rightarrow (x^2 + 1)(y + 3) = 0
\]

1. Nếu \( x^2 + 1 = 0 \) thì không có nghiệm nguyên.
2. Nếu \( y + 3 = 0 \):

Vậy \( y = -3 \). Khi đó \( x \) có thể nhận tất cả các giá trị nguyên vì

\[
(x^2 + 1) = 0 \Rightarrow \text{không tích cực}
\]

Nên nghiệm cuối sẽ là:

- Nghiệm \( (x, y) = (x, -3), x \in \mathbb{Z} \)

Tóm lại, các nghiệm cho các phương trình:
- a) \( (5, 2), (-9, 2), (5, -2), (-9, -2) \)
- b) Chưa thể xác định cụ thể, cần thử nghiệm.
- c) \( (x, -3), x \in \mathbb{Z} \)