Cho Δ ABC có AB = AC. Kẽ AH ⊥ BC tại H. Chứng minh Δ ABH = Δ ACH. Kẽ HM ⊥ AB tại M, HN ⊥ AC tại N. Chứng minh Δ AMH = Δ ANH. Chứng minh Δ MBH = Δ NCH. Chứng minh HA là tia phân giác của góc MHN

Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán này, ta sẽ sử dụng một số thuộc tính hình học và định nghĩa về tam giác đều.

**a) Chứng minh Δ ABH = Δ ACH:**

1. Ta có \( AB = AC \) (theo giả thiết).
2. \( AH \) là đường hạ xuống từ A và vuông góc với \( BC \), nên \( AH \perp BC \).
3. \( BH = CH \) (cùng một khoảng cách từ điểm H đến các cạnh BC).
4. Do đó, theo dấu hiệu cạnh-góc-cạnh (CGC), ta có \( Δ ABH = Δ ACH \).

**b) Chứng minh Δ AMH = Δ ANH:**

1. Ta có \( AH \) là đường hạ từ A, và \( HM \perp AB \) và \( HN \perp AC \).
2. Từ \( AH \perp HM \) và \( AH \perp HN \), suy ra \( AM = AN \) (vì AMS và ANS đều có độ dài như nhau từ A đến H).
3. Gọi góc \( MHN \) là góc vuông \( AMH = ANH \) (do cả hai góc đều vuông).
4. Theo dấu hiệu cạnh-góc-cạnh (CGC), ta có \( Δ AMH = Δ ANH \).

**c) Chứng minh Δ MBH = Δ NCH:**

1. Do đã chứng minh \( Δ AMH = Δ ANH \), có thể sử dụng để so sánh.
2. Ta có \( MB = NH \) và \( BH = CH \) (do tính chất của hình chữ nhật và tam giác không đổi).
3. Suy ra \( Δ MBH = Δ NCH \) (theo dấu hiệu cạnh-góc-cạnh).

**d) Chứng minh HA là tia phân giác của góc MHN:**

1. Vừa chứng minh \( Δ AMH = Δ ANH \), nên \( AH \) chia góc \( MHN \) thành hai góc bằng nhau.
2. Khi đó, ta có thể kết luận rằng \( HA \) là tia phân giác của góc \( MHN \).

Tóm lại, dựa vào các tính chất của tam giác, đường vuông góc và dấu hiệu cạnh-góc-cạnh, ta đã chứng minh xong tất cả các phần của bài toán.