Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần:

### a) Tứ giác AMCN là hình gì? Chứng minh?

**Chứng minh:**
1. Gọi M là trung điểm của BC, D là trung điểm của AC.
2. Vì AM là đường trung tuyến, nên \( AB = AC \).
3. D là trung điểm của AC, và N là điểm trên tia đối của DM sao cho D là trung điểm của MN.
4. Xét tứ giác AMCN, ta có:
- AD = DC (vì D là trung điểm của AC)
- AM = MC (vì M là trung điểm của BC)

Từ đây, ta thấy tứ giác AMCN có 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau nên AMCN là hình thoi.

### b) Chứng minh tứ giác ABMN là hình bình hành.

**Chứng minh:**
1. Từ D là trung điểm của AC, N và M là 2 điểm sao cho D là trung điểm của MN.
2. Ta có:
- MD = DN (vì D là trung điểm của MN)
- AD = DC (vì D là trung điểm của AC)
3. Xét tứ giác ABMN, ta có:
- AB = NM (vì D là trung điểm của AC và N nằm ở tia đối của D)
- AN = MB (do tính chất trung điểm)

Do vậy, ABMN là hình bình hành.

Vậy, ta đã chứng minh các yêu cầu của bài toán.