Để giải bài toán hình học trong tam giác \( ABC \) với \( AB = AC \) và \( AH \perp BC \) tại \( H \), ta sẽ thực hiện từng phần của bài tập như sau:

### a) Chứng minh \( \triangle ABH \cong \triangle ACH \)

1. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- \( AB = AC \) (giả thiết).
- \( AH \) là đường cao nên \( \angle AHB = \angle AHC = 90^\circ \).
- \( BH = CH \) (tính chất đường cao trong tam giác cân).

2. **Kết luận:**
- Từ các cặp cạnh và góc tương ứng đã chứng minh, ta có \( \triangle ABH \cong \triangle ACH \) theo tiêu chuẩn cạnh - góc - cạnh (CGC).

### b) Kẻ \( HM \perp AB \) tại \( M \), \( HN \perp AC \) tại \( N \). Chứng minh \( \triangle DMH = \triangle ANH \).

1. **Xét các tam giác:**
- Ta có \( HM \perp AB \) và \( HN \perp AC \).
- Bởi vì \( AB = AC \) (tam giác cân) và \( AH \) chung cho cả hai tam giác \( DMH \) và \( ANH \).

2. **Kết luận:**
- Hai tam giác \( DMH \) và \( ANH \) có cặp cạnh tương ứng bằng nhau (cạnh vuông hao bên và cạnh đáy) và góc vuông (tại \( M \) và \( N \)).
- Suy ra \( \triangle DMH \cong \triangle ANH \) theo tiêu chuẩn cạnh - góc - cạnh.

### c) Chứng minh \( \triangle MBH = \triangle NCH \)

1. **Bằng cách sử dụng tam giác senc:**
- Cả hai tam giác \( MBH \) và \( NCH \) đều có \( BH = CH \).
- Lại có \( \angle MBH = \angle NCH = 90^\circ \).

2. **Kết luận:**
- Theo tiêu chuẩn cạnh - góc - cạnh, \( \triangle MBH \cong \triangle NCH \).

### d) Chứng minh \( HA \) là tia phân giác của góc \( MHN \)

1. **Sử dụng tính chất từ các tam giác đã chứng minh:**
- Ta có \( \triangle ABH \cong \triangle ACH \) → \( \angle ABH = \angle ACH \).
- Từ đó suy ra \( \angle MBH = \angle NCH \).

2. **Kết luận:**
- Do đó, \( HA \) là tia phân giác của góc \( MHN \).

Hy vọng các bước giải trên giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán!