Cho \( \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} \) và \( a + b + c \neq 0 \). Chứng minh rằng: \( a = b = c \)

Để chứng minh rằng \( a = b = c \) từ điều kiện \( \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} \) và \( a + b + c \neq 0 \), ta sẽ sử dụng một số phép biến đổi toán học đơn giản.

Giả sử \( \frac{a}{b} = k \), với \( k \) là một hằng số. Từ đó ta có thể viết:

\[
a = kb
\]

Tương tự, từ \( \frac{b}{c} = k \), ta có:

\[
b = kc \Rightarrow c = \frac{b}{k}
\]

Thay giá trị của \( b \) vào biểu thức của \( a \):

\[
a = k \cdot kc = k^2 c
\]

Biểu thức cho \( c \) có thể được thay vào để tìm mối quan hệ giữa \( a \) và \( c \):

\[
c = \frac{a}{k^2}
\]

Vì \( \frac{c}{a} = k \), ta cũng có thể viết:

\[
\frac{c}{a} = \frac{1}{k^2} \Rightarrow k^2 = \frac{c}{a}
\]

Từ cả ba phương trình, ta có:

1. \( a = k^2 c \)
2. \( b = kc \)
3. \( c = \frac{b}{k} \)

Giờ ta đặt \( k \) ra ngoài và có:

\[
b = kc \quad \Rightarrow \quad c = \frac{b}{k}
\]
\u0020\
Vì \( a = k^2 c \), ta có thể thay \( c \) vào:

\[
a = k^2 \left(\frac{b}{k}\right) = k b
\]

Nói cách khác, chúng ta có được:

\[
\frac{a}{b} = k \quad \frac{b}{c} = k \quad \frac{c}{a} = k
\]

Do đó, tất cả các tỉ lệ này sẽ dẫn đến việc \( a = b = c \).

Cuối cùng, nếu \( a + b + c \neq 0 \), thì không có giá trị nào là 0 và kết luận này khẳng định rằng:

\[
a = b = c
\]

Vậy ta đã chứng minh rằng \( a = b = c \).