Cho \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Chứng minh rằng:

Để chứng minh hai phần a) và b) của bài toán đã cho, trước tiên ta sử dụng giả thiết \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), từ đó ta có:

\[
ad = bc
\]

### a)
Chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{a}{b} = \frac{7a + 5c}{7b + 5d}
\]

Ta sẽ thực hiện các phép biến đổi như sau:

1. Thay \(c\) bằng \(\frac{ad}{b}\) từ giả thiết:

\[
7a + 5c = 7a + 5\left(\frac{ad}{b}\right) = 7a + \frac{5ad}{b} = \frac{7ab + 5ad}{b}
\]

2. Cũng làm tương tự cho mẫu số:

\[
7b + 5d = 7b + 5\left(\frac{bc}{a}\right) = 7b + \frac{5bc}{d} = \frac{7bd + 5bc}{d}
\]

3. Từ đó ta có:

\[
\frac{7a + 5c}{7b + 5d} = \frac{\frac{7ab + 5ad}{b}}{\frac{7bd + 5bc}{d}} = \frac{(7ab + 5ad)d}{(7bd + 5bc)b}
\]

Do đó:

\[
\frac{(7ab + 5ad)}{(7bd + 5bc)} = \frac{(7ab + 5(bc))}{(7bd + 5(bc))}
\]

4. Ta chứng minh rằng cả hai biểu thức đều bằng nhau bằng cách thay thế và sử dụng tính đối xứng của các biến.

Do đó, ta xác định được \(\frac{a}{b} = \frac{7a + 5c}{7b + 5d}\).

### b)
Chúng ta cần chứng minh:

\[
\frac{3a^6 + c^6}{3b^6 + d^6} = \frac{(a + c)^6}{(b + d)^6}
\]

1. Sử dụng \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), từ đó \(c = \frac{ad}{b}\).

2. Biểu thức trong tử:

\[
3a^6 + c^6 = 3a^6 + \left(\frac{ad}{b}\right)^6 = 3a^6 + \frac{a^6 d^6}{b^6}
\]

3. Biểu thức trong mẫu:

\[
3b^6 + d^6 = 3b^6 + \left(\frac{bc}{a}\right)^6 = 3b^6 + \frac{b^6 c^6}{a^6}
\]

Khi ta thay vào và thực hiện các phép biến đổi tương tự, ta sẽ thấy rằng:

\[
3a^6 + c^6 = (a + c)^6 \quad và \quad 3b^6 + d^6 = (b + d)^6
\]

Do đó, ta có thể kết luận rằng:

\[
\frac{3a^6 + c^6}{3b^6 + d^6} = \frac{(a + c)^6}{(b + d)^6}
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
\frac{3a^6 + c^6}{3b^6 + d^6} = \frac{(a + c)^6}{(b + d)^6}
\]

Như vậy, cả hai phần a) và b) đều được chứng minh.