Tìm giá trị lớn nhất/ nhỏ nhất của các biểu thức

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \( S = \frac{a}{a+b+c^2} + \frac{b}{b+c+a^2} + \frac{c}{c+a+b^2} \) với điều kiện \( a + b + c = 1 \) và \( a, b, c \geq 0 \), chúng ta sẽ dùng bất đẳng thức và tính toán.

### 1. Tìm giá trị nhỏ nhất

Giả sử \( a = b = c = \frac{1}{3} \):

\[
S = 3 \cdot \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3} + \frac{1}{9}} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{9} + \frac{1}{9}} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{3}}{\frac{7}{9}} = 3 \cdot \frac{3}{7} = \frac{9}{7}.
\]

### 2. Tìm giá trị lớn nhất

Bây giờ, giả sử có một số trường hợp với các giá trị biên. Cụ thể, hãy xem xét trường hợp \( a = 1, b = 0, c = 0 \):

\[
S = \frac{1}{1+0+0^2} + \frac{0}{0+0+1^2} + \frac{0}{0+1+0^2} = \frac{1}{1} + 0 + 0 = 1.
\]

Tương tự, xét các trường hợp \( a = 0, b = 1, c = 0 \) và \( a = 0, b = 0, c = 1 \) cũng cho ra giá trị \( S = 1 \).

### 3. Kết luận

Từ các tính toán trên:

- Giá trị lớn nhất của \( S \) là \( 1 \) khi một trong ba giá trị \( a, b, c \) bằng \( 1 \) và hai giá trị còn lại bằng \( 0 \).
- Giá trị nhỏ nhất của \( S \) là \( \frac{9}{7} \) khi \( a = b = c = \frac{1}{3} \).

Tóm lại:

- Giá trị lớn nhất: \( 1 \)
- Giá trị nhỏ nhất: \( \frac{9}{7} \)