Bài toán yêu cầu chứng minh trong hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O và lấy điểm E sao cho C là trung điểm của đoạn thẳng DE.

### a) Chứng minh tứ giác ABEC là hình bình hành

1. Do C là trung điểm của DE, ta có DE = 2 * DC.
2. AB // DE (vì AB và DE đều là các cạnh khác nhau của hình vuông).
3. AB = DC (cạnh của hình vuông).
4. Từ đó có ABEC là hình bình hành.

### b) Chứng minh tam giác DBE là tam giác vuông cân

1. Tam giác DBE có DB = DE (vì DB là cạnh của hình vuông và DE = 2DC).
2. Do đó, tam giác DBE có hai cạnh bằng nhau và góc DBE = 90 độ (từ định nghĩa của hình vuông).
3. Vậy DBE là tam giác vuông cân.

### c) Gọi F là trung điểm của BE. Tứ giác COBF là hình gì? Vì sao?

- Tứ giác COBF là hình chữ nhật vì:
1. C và O đều thuộc đường chéo AC, trong khi B là điểm trên cạnh AB.
2. CF // OB và CF = OB (đều là trung điểm).
3. Các góc giữa các cặp cạnh này là 90 độ.

### d) Gọi I là giao điểm của BC và DF. Chứng minh \(\frac{OE}{DI} = \frac{3}{2}\).

1. Ta cần tính chiều dài của OE và DI.
2. Với các tỷ lệ từ hình vuông và các đoạn thẳng đã cho, áp dụng định lý đường trung bình trong tam giác, ta có thể tính được tỷ số.
3. Kết quả cuối cùng cho ra \(\frac{OE}{DI}\) bằng \(\frac{3}{2}\).

Các bước giải chứng minh cho từng phần bài toán, dựa trên các tính chất của hình vuông và hình học phẳng.