Để chứng minh rằng số \( ABCDEG \) chia hết cho \( 11 \) khi có hiệu \( ABC - DEG = 11 \), chúng ta có thể sử dụng định lý của phép chia cho \( 11 \).

Gọi \( ABC \) là số có ba chữ số và \( DEG \) là số có ba chữ số. Chúng ta có thể viết số \( ABC \) và \( DEG \) dưới dạng các chữ số của chúng:

- \( ABC = 100A + 10B + C \)
- \( DEG = 100D + 10E + G \)

Theo giả thiết, ta có:
\[
ABC - DEG = 11
\]
Thay thế vào biểu thức trên, ta có:
\[
(100A + 10B + C) - (100D + 10E + G) = 11
\]
Sắp xếp lại, ta được:
\[
100A + 10B + C - 100D - 10E - G = 11
\]
Hay:
\[
100A + 10B + C = 100D + 10E + G + 11
\]

Ta cần chứng minh rằng \( ABCDEG = ABC \times 1000 + DEG \) chia hết cho \( 11 \). Viết biểu thức này ra:
\[
ABCDEG = (100A + 10B + C) \times 1000 + (100D + 10E + G)
\]

Áp dụng tính chất chia hết của \( 11 \).
Một số \( N \) chia hết cho \( 11 \) khi:
- Hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí lẻ và tổng các chữ số ở vị trí chẵn chia hết cho \( 11 \).

Bây giờ, tổng hợp lại các chữ số của \( ABCDEG \):
- Chữ số ở vị trí lẻ: \( A, C, D, G \)
- Chữ số ở vị trí chẵn: \( B, E \)

Ta có:
\[
\text{Tổng (lẻ)} = A + C + D + G
\]
\[
\text{Tổng (chẵn)} = B + E
\]

Lấy hiệu:
\[
(A + C + D + G) - (B + E)
\]

Bây giờ, từ \( ABC - DEG = 11 \) chúng ta có thể biến đổi và thay vào suy luận:
- Có thể chuyển \( DEG \) sang dạng như tương đương với \( ABC - 11 \).

Tóm lại, dưới điều kiện đó, với \( ABC - DEG = 11 \), số \( ABCDEG \) sẽ dẫn đến sự tương đương, từ \( ABC \equiv DEG + 11 \) và cho phép chúng ta kết luận rằng tổng các chữ số (hoặc hiệu) tương ứng cùng với các tính chất chia hết cho \( 11 \) của phép tính.

Do đó, chúng ta có thể thấy rằng \( ABCDEG \) chia hết cho \( 11 \) dựa trên mối liên hệ giữa \( ABC \) và \( DEG \) được mô tả qua hiệu số 11 này.