Để chứng minh tứ giác \( AHCD \) là hình chữ nhật, ta cần xác minh hai điều kiện: \( AH \perp CD \) và \( AC \perp HD \).

**Bước 1: Chứng minh \( AH \perp CD \)**

- Vì \( AH \) là đường cao của tam giác \( ABC \), nên \( AH \perp BC \).
- \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AC \), do đó ta có \( AI = IC \).
- Điểm \( D \) được xác định là điểm đối xứng của \( H \) qua \( I \), tức là \( HI = ID \).
- Từ \( AH \perp AC \), ta có \( AH \) vuông góc với mọi đoạn thẳng đi qua điểm \( A \) tạo thành với \( AC \).
- Do đó, \( AH \perp ID \) và do tính chất đối xứng, ta suy ra \( AH \perp CD \).

**Bước 2: Chứng minh \( AC \perp HD \)**

- Từ định nghĩa về điểm đối xứng, ta có \( H \) và \( D \) nằm trên một đường thẳng thẳng đứng nối giữa \( I \) mà \( I \) chia đoạn thẳng \( HD \) thành hai phần bằng nhau.
- Vì \( I \) là trung điểm của \( AC \), và \( HI = ID \), nên góc \( AID \) bằng \( 90° \).

Từ hai điều kiện \( AH \perp CD \) và \( AC \perp HD \), ta có thể kết luận rằng tứ giác \( AHCD \) là hình chữ nhật.

Nếu cần thêm chứng minh chi tiết hơn hoặc cụ thể hơn cho từng bước, vui lòng cho biết!