Để chứng minh rằng \(\angle IHK = 90^\circ\) trong tam giác vuông \(ABC\) với đường cao \(AH\) và \(I, K\) là trung điểm của \(AB\) và \(AC\), ta thực hiện như sau:

1. **Gọi tọa độ:**
- Giả sử \(A(0, 0)\), \(B(a, 0)\), \(C(0, b)\).
- Đường cao \(AH\) cắt \(BC\) tại \(H\).

2. **Tìm tọa độ của trung điểm:**
- Tọa độ của \(I\) (trung điểm của \(AB\)) là \(\left(\frac{a}{2}, 0\right)\).
- Tọa độ của \(K\) (trung điểm của \(AC\)) là \(\left(0, \frac{b}{2}\right)\).

3. **Tìm tọa độ điểm \(H\):**
- Đường thẳng \(BC\) có phương trình:
\[ y = -\frac{b}{a}x + b \]
- Đường cao \(AH\) là đường thẳng đứng \(x = 0\), do đó \(H(0, \frac{b}{2})\).

4. **Tính vectơ \(IH\) và \(KH\):**
- Vectơ \(IH\) từ \(I\) đến \(H\):
\[
IH = H - I = \left(0, \frac{b}{2}\right) - \left(\frac{a}{2}, 0\right) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)
\]

- Vectơ \(KH\) từ \(K\) đến \(H\):
\[
KH = H - K = \left(0, \frac{b}{2}\right) - \left(0, \frac{b}{2}\right) = \left(0, 0\right)
\]

5. **Tính tích vô hướng \(IH \cdot KH\):**
\[
IH \cdot KH = \left(-\frac{a}{2}\right) \cdot 0 + \left(\frac{b}{2}\right) \cdot 0 = 0
\]

6. **Kết luận:**
Vì tích vô hướng bằng 0, \(IH\) và \(KH\) vuông góc nhau, tức là \(\angle IHK = 90^\circ\).

Do đó, ta đã chứng minh được rằng \(\angle IHK = 90^\circ\).