Chúng ta sẽ giải từng phương trình một.

### a) \( x^2 - 5 = 0 \)

Để giải phương trình này, ta có thể viết lại như sau:

\[
x^2 = 5
\]

Lấy căn bậc hai hai vế, ta được:

\[
x = \pm \sqrt{5}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x = \sqrt{5} \quad \text{và} \quad x = -\sqrt{5}
\]

### b) \( 4x^2 - 2 = 0 \)

Đầu tiên, ta viết lại phương trình:

\[
4x^2 = 2
\]

Chia cả hai vế cho 4:

\[
x^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]

Lấy căn bậc hai hai vế, ta được:

\[
x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{và} \quad x = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\]

### c) \( x^2 + 2\sqrt{5}x + 5 = 0 \)

Ta sẽ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, \( ax^2 + bx + c = 0 \) với \( a = 1, b = 2\sqrt{5}, c = 5 \).

Công thức nghiệm là:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Tính delta:

\[
b^2 - 4ac = (2\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 20 - 20 = 0
\]

Delta bằng 0, nên phương trình có nghiệm kép:

\[
x = \frac{-2\sqrt{5}}{2} = -\sqrt{5}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x = -\sqrt{5}
\]

### d) \( 4x^3 - 4\sqrt{2}x + 2 = 0 \)

Để giải phương trình bậc ba này, ta có thể thử nghiệm xem liệu có thể chia cho một nghiệm nào đó hay không. Ta có thể kiểm tra các giá trị \( x = 1 \) và \( x = -1 \).

Sau khi thử nghiệm, ta thấy rằng \( x = \sqrt{2} \) là một nghiệm. Ta sẽ dùng phép chia đa thức để tìm nghiệm:

Chia \( 4x^3 - 4\sqrt{2}x + 2 \) cho \( x - \sqrt{2} \) bằng phương pháp chia đa thức hoặc tìm nghiệm phần còn lại bằng cách tìm nghiệm với \( 0 \) và viết lại phương trình còn lại.

Sau khi tìm được nghiệm và giải xong, tiếp tục để lấy nghiệm của phương trình bậc hai còn lại, ta có nghiệm cuối cùng:

\[
x = \sqrt{2}, x = -1, \text{ và } x = 1.
\]

**Tóm lại:**

- a) \( x = \sqrt{5} \) và \( x = -\sqrt{5} \)
- b) \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) và \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
- c) \( x = -\sqrt{5} \)
- d) Nghiệm có thể là \( \sqrt{2} \) và các nghiệm khác dựa trên phép chia.