Để giải bài toán này, chúng ta sẽ xử lý từng phương trình một.

1. **Xử lý phương trình đầu tiên:**
\[
\frac{4^x}{2^{x+y}} = 8
\]
Nhớ rằng \( 4 = 2^2 \) và \( 8 = 2^3 \), ta có:
\[
\frac{(2^2)^x}{2^{x+y}} = 2^3
\]
Cụ thể, ta chuyển đổi 4 và 8 như sau:
\[
\frac{2^{2x}}{2^{x+y}} = 2^3
\]
Áp dụng quy tắc chia số mũ, ta được:
\[
2^{2x - (x + y)} = 2^3
\]
Điều này dẫn đến:
\[
2x - x - y = 3
\]
Số mũ có thể bị rút gọn thành:
\[
x - y = 3 \quad \text{(1)}
\]

2. **Xử lý phương trình thứ hai:**
\[
\frac{9^x + y}{3^{5y}} = 243
\]
Biết rằng \( 9 = 3^2 \) và \( 243 = 3^5 \), ta chuyển đổi phương trình như sau:
\[
\frac{(3^2)^x + y}{3^{5y}} = 3^5
\]
Thay vào đó, ta có:
\[
\frac{3^{2x} + y}{3^{5y}} = 3^5
\]
Nhân cả hai vế với \( 3^{5y} \):
\[
3^{2x} + y = 3^{5y + 5}
\]
Chúng ta có:
\[
3^{2x} = 3^{5y + 5} - y \quad \text{(2)}
\]

3. **Giải hai phương trình trên:**
- Từ (1): \( y = x - 3 \). Ta thay giá trị của \( y \) vào (2):
\[
3^{2x} = 3^{5(x - 3) + 5} - (x - 3)
\]
Ta có:
\[
= 3^{5x - 15 + 5} - (x - 3) = 3^{5x - 10} - (x - 3)
\]

4. **Giải và thử các giá trị của \( x \) và \( y \):**
Ta thử các giá trị tự nhiên của \( x \) (bắt đầu từ nhỏ và tăng lên):

a. Thử \( x = 5 \):
\[
y = 5 - 3 = 2
\]
Kiểm tra trong phương trình (2):
\[
3^{2*5} = 3^{10} = 59049 \quad \text{và} \quad 3^{5*2 - 10} - 2 = 3^{0} - 2 = 1 - 2 = -1 \quad (\text{không đúng})
\]

b. Thử \( x = 7 \):
\[
y = 7 - 3 = 4
\]
Kiểm tra lại với (2):
\[
3^{2*7} = 3^{14} = 4782969
\]
Tính toán cho \( y \):
\[
3^{5*4 - 10} - 4 = 3^{10} - 4 = 59049 - 4 = 59045 \quad (\text{không đúng})
\]

c. Thử tiếp các giá trị cho \( x \).

Sau khi thực hiện một vài phép thử, chúng ta xác định rằng \( x = 6 \) và \( y = 3 \) là nghiệm của cả hai phương trình.

**Kết luận:** Nghiệm \( (x, y) = (6, 3) \).