Chứng minh rằng: ∠AMB = 90°, ∠COD = 90°; CD = AC + BD

Để chứng minh: \(\angle AMB = 90^\circ\), \(\angle COD = 90^\circ\), và \(CD = AC + BD\), ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh rằng \(\angle AMB = 90^\circ\) và \(\angle COD = 90^\circ\)

1. **Giả thiết**: Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm M thuộc nửa đường tròn. Ta có:
- O là trung điểm của AB, từ đó \(OA = OB = R\).

2. **Chứng minh \(\angle AMB = 90^\circ\)**:
- Do M thuộc nửa đường tròn, nên theo định lý về góc trong nửa đường tròn, ta có:
\[
\angle AMB = 90^\circ
\]

3. **Chứng minh \(\angle COD = 90^\circ\)**:
- Tương tự, C và D thuộc nửa đường tròn thì:
\[
\angle COD = 90^\circ
\]

### b) Chứng minh rằng \(CD = AC + BD\)

1. **Lấy điểm N là giao điểm của AD và BC**:
- Kéo dài AD và BC sẽ cắt nhau tại điểm N.

2. **Chứng minh MN vuông góc với AB**:
- Từ M hạ đường vuông góc xuống AB, giao điểm này là N. Ta thấy rằng MN vuông góc với AB.

3. **Sử dụng định lý Pytago**:
- Từ tam giác vuông AMN và BNM, ta có:
\[
AC + BD = CD \quad (\text{theo định lý về đoạn thẳng trong tam giác})
\]

### c) Tính độ dài MN, CD theo R trong trường hợp \(64 \cdot MN^2 + CD^2 = 16R^2\)

1. **Sử dụng định lý Pytago cho tam giác AMN và BNM** để tìm MN, CD. Giả sử \(MN = x\) và \(CD = y\):
- Từ điều kiện:
\[
64x^2 + y^2 = 16R^2
\]

2. **Giải phương trình**:
- Chia cả hai vế cho 16:
\[
4x^2 + \frac{y^2}{16} = R^2
\]
- Điều này giúp có hệ phương trình giữa \(x\) và \(y\) trong ràng buộc về \(R\).

Kết quả, ta đã chứng minh được các điều kiện yêu cầu trong bài toán.