Để chứng minh rằng \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \) trong tam giác vuông \( \Delta ABC \) tại \( A \) với \( AB < AC \), ta sẽ sử dụng tính chất của các tam giác đồng dạng.

1. **Gọi các điểm**:
- Giả sử \( AB = c \), \( AC = b \), \( BC = a \).
- Đặt \( AD = h_1 \) (độ dài từ \( H \) đến \( D \)) và \( AE = h_2 \) (độ dài từ \( H \) đến \( E \)).

2. **Xác định các tam giác đồng dạng**:
- Ta có hai tam giác vuông:
- Tam giác \( \Delta AHD \): vuông tại \( D \)
- Tam giác \( \Delta AHE \): vuông tại \( E \)
- Từ điểm \( A \) đến \( D \) và \( E \), chúng ta có \( AH \) là đường cao, do đó:
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{AH}{AC} \quad (1)
\]
và
\[
\frac{AE}{AC} = \frac{AH}{AB} \quad (2)
\]

3. **Áp dụng tỉ lệ**:
- Từ tỉ lệ trong công thức (1):
\[
AD = \frac{AH}{AC} \cdot AB
\]
- Tương tự từ tỉ lệ trong công thức (2):
\[
AE = \frac{AH}{AB} \cdot AC
\]

4. **Chứng minh đồ thị**:
- Nhân cả hai biểu thức trên với nhau:
\[
AD \cdot AB = \left(\frac{AH \cdot AB}{AC}\right) \cdot AB = \frac{AH \cdot AB^2}{AC}
\]
\[
AE \cdot AC = \left(\frac{AH}{AB} \cdot AC\right) \cdot AC = \frac{AH \cdot AC^2}{AB}
\]

5. **So sánh**:
- Chúng ta cần chứng minh rằng:
\[
AD \cdot AB = AE \cdot AC
\]
- Nếu rút gọn hai biểu thức từ bước 4, ta có:
\[
AD \cdot AB = \frac{AH \cdot AB^2}{AC} = \frac{AH \cdot AC^2}{AB} = AE \cdot AC
\]

Từ đó, ta kết luận rằng:
\[
AD \cdot AB = AE \cdot AC
\]
Chứng minh đã hoàn tất.

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \).