Để chứng minh rằng các đoạn thẳng \( MN \), \( AB \) và \( CD \) song song với nhau trong hình thang \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \), ta làm theo các bước sau:

1. **Hệ tọa độ**: Giả sử điểm \( A \) có tọa độ \( (0, 0) \), điểm \( B \) có tọa độ \( (a, 0) \), điểm \( C \) có tọa độ \( (b, h) \), và điểm \( D \) có tọa độ \( (c, h) \) với \( a < b < c \). Như vậy, \( AB \parallel CD \) được xác nhận.

2. **Tính tọa độ trung điểm**:
- Tọa độ trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( AC \):
\[
M\left( \frac{0 + b}{2}, \frac{0 + h}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]
- Tọa độ trung điểm \( N \) của đoạn thẳng \( BD \):
\[
N\left( \frac{a + c}{2}, \frac{0 + h}{2} \right) = \left( \frac{a + c}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

3. **Tính độ dốc của các đoạn thẳng**:
- Đoạn thẳng \( AB \):
\[
\text{Độ dốc của } AB = 0 \quad (\text{vì nó nằm trên trục } x)
\]

- Đoạn thẳng \( CD \):
\[
\text{Độ dốc của } CD = 0 \quad (\text{vì nó cũng nằm trên một đường ngang ở } y = h)
\]

- Đoạn thẳng \( MN \):
Tọa độ \( M \) và \( N \) đã tính trước. Độ dốc của đoạn thẳng \( MN \):
\[
\text{Độ dốc của } MN = \frac{\frac{h}{2} - \frac{h}{2}}{\frac{b}{2} - \frac{a + c}{2}} = 0
\]

4. **Kết luận**:
- Vì các đoạn thẳng \( AB \), \( CD \), và \( MN \) đều có độ dốc bằng 0, do đó \( MN \parallel AB \) và \( MN \parallel CD \).
- Vậy ta có thể kết luận rằng \( MN \parallel AB \) và \( MN \parallel CD \).

Do đó, ta đã chứng minh rằng \( MN \), \( AB \) và \( CD \) là các đoạn thẳng song song với nhau.