Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số định lý về tam giác và tính chất của hình thang.

### Phân tích bài toán:

1. **Tam giác ABC**:
- Có góc \(A = 40^\circ\).
- \(AB = AC\) ⇒ Tam giác ABC là tam giác cân tại A.

2. **Tính các góc còn lại**:
- Do tam giác ABC là tam giác cân, ta có:
\[
\angle B = \angle C
\]
- Gọi \( \angle B = \angle C = x \).
- Ta có:
\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
\]
Thay vào:
\[
40^\circ + x + x = 180^\circ \Rightarrow 2x = 140^\circ \Rightarrow x = 70^\circ
\]
- Vậy:
\[
\angle B = 70^\circ, \quad \angle C = 70^\circ
\]

3. **Tính góc của tam giác AMB và AMC**:
- Gọi M là trung điểm của BC.
- Tại điểm M, do \(AB = AC\) và \(M\) là trung điểm \(BC\), ta có:
\[
\angle AMB + \angle AMC + \angle A = 180^\circ
\]
- Với:
\[
\angle AMB = \angle AMC \quad (\text{vì M là trung điểm})
\]
Gọi:
\[
\angle AMB = \angle AMC = y
\]
- Ta có:
\[
y + y + 40^\circ = 180^\circ \Rightarrow 2y = 140^\circ \Rightarrow y = 70^\circ
\]
- Kết luận:
\[
\angle AMB = 70^\circ, \quad \angle AMC = 70^\circ
\]

### Tổng hợp:
- Góc của tam giác AMB và AMC đều là **70°**.