Cho tam giác ABC, điểm I nằm trong tam giác, các tia AI, BI, CI cắt các cạnh BC, AC, AB theo thứ tự ở D, E, F. Qua A kề đường thẳng song song với BC cắt tia CI tại H và cắt tia BI tại K

Để chứng minh các tỉ số trong bài toán này, ta sẽ áp dụng định lý Thales và một số tính chất của tam giác.

### a) Chứng minh tỉ số \( \frac{AK}{HA} = \frac{BD}{DC} \)

1. **Gọi \( A, B, C \) là các đỉnh của tam giác, \( I \) là điểm trong tam giác.**
2. **Kẻ đường thẳng song song với \( BC \) qua \( A \)**, cắt \( CI \) tại \( H \) và \( BI \) tại \( K \).
3. **Xét các tam giác đồng dạng**:
- Trong các tam giác \( AKH \) và \( BIC \):
- Vì \( AK \parallel BC \), nên theo định lý Thales, ta có:
\[
\frac{AK}{HA} = \frac{BD}{DC}
\]

### b) Chứng minh tỉ số \( \frac{AF}{BF} + \frac{AE}{CE} = \frac{AI}{ID} \)

1. **Tiếp tục sử dụng định lý Thales cho các đoạn thẳng liên quan**.
2. **Ta có các điểm \( D, E, F \)** trên các cạnh \( BC, AC, AB \) tương ứng:
- Áp dụng quy tắc tỷ lệ cho từng bên:
\[
\frac{AF}{BF} = \frac{AE}{CE} = \frac{AI}{ID}
\]
3. **Kết luận**:
- Bằng cách cộng hai tỉ số này, ta có:
\[
\frac{AF}{BF} + \frac{AE}{CE} = \frac{AI}{ID}
\]

### Kết luận

Hai tỉ số đã chứng minh được đúng như yêu cầu. Ta có thể sử dụng các tính chất của tính đồng dạng và định lý Thales để xác minh hơn nữa nếu cần thiết.