Để tìm giá trị của \( m \) và \( n \) sao cho số \( 71m38n \) chia hết cho 2, 3, 5 và 9, ta bắt đầu với các điều kiện chia hết cho từng số.

1. **Chia hết cho 2**:
- Số chia hết cho 2 khi chữ số cuối là chẵn. Do đó, \( n \) phải là một số chẵn (0, 2, 4, 6, 8).

2. **Chia hết cho 5**:
- Số chia hết cho 5 khi chữ số cuối là 0 hoặc 5. Do đó, \( n \) phải là 0 (điều này cũng thỏa mãn điều kiện chia hết cho 2).

3. **Chia hết cho 3**:
- Số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3. Tính tổng các chữ số:
\[
7 + 1 + m + 3 + 8 + 0 = 19 + m
\]
- Để \( 19 + m \) chia hết cho 3, \( m \) phải thỏa mãn:
\[
19 + m \equiv 0 \mod 3
\]
Tính \( 19 \mod 3\):
\[
19 \div 3 = 6 \quad \text{và dư là } 1 \Rightarrow 19 \equiv 1 \mod 3
\]
Vậy:
\[
1 + m \equiv 0 \mod 3 \Rightarrow m \equiv 2 \mod 3
\]
- Các giá trị của \( m \) có thể là 2, 5, 8.

4. **Chia hết cho 9**:
- Số chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9. Tính tổng:
\[
19 + m
\]
- Để \( 19 + m \) chia hết cho 9, \( 19 + m \equiv 0 \mod 9\).
- Tính \( 19 \mod 9\):
\[
19 \div 9 = 2 \quad \text{và dư là } 1 \Rightarrow 19 \equiv 1 \mod 9
\]
- Vậy:
\[
1 + m \equiv 0 \mod 9 \Rightarrow m \equiv 8 \mod 9
\]
- Các giá trị khả thi cho \( m \) trong khoảng 0 đến 9 là 8.

Tóm lại, từ điều kiện \( m \equiv 2 \mod 3 \) và \( m \equiv 8 \mod 9 \), ta có \( m = 8 \).

Giờ ta có:
- \( m = 8 \)
- \( n = 0 \)

Tính \( m^2 + n^2 \):
\[
m^2 + n^2 = 8^2 + 0^2 = 64 + 0 = 64
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:
\[
\boxed{64}
\]