Giải các phương trình sau: \(x^3 + 2023x - 2024 = 0.\)

Để giải phương trình \(x^3 + 2023x - 2024 = 0\), ta bắt đầu bằng cách sử dụng quy tắc tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình bậc ba.

Phương trình có dạng tổng quát là:

\[
x^3 + px + q = 0
\]

Ở đây, \(p = 2023\) và \(q = -2024\).

### Bước 1: Tìm nghiệm bằng phương pháp thử

Ta thử các giá trị nguyên. Đầu tiên thử \(x = 1\):

\[
1^3 + 2023 \cdot 1 - 2024 = 1 + 2023 - 2024 = 0
\]

Vậy, \(x = 1\) là một nghiệm.

### Bước 2: Phân tích đa thức

Sử dụng phép chia đa thức để chia \(x^3 + 2023x - 2024\) cho \(x - 1\):

\[
\begin{array}{r|rrrr}
1 & 1 & 0 & 2023 & -2024 \\
& & 1 & 1 & 2024 \\
\hline
& 1 & 1 & 2024 & 0 \\
\end{array}
\]

Sau khi chia, ta có:

\[
x^3 + 2023x - 2024 = (x - 1)(x^2 + x + 2024)
\]

### Bước 3: Giải phần còn lại

Giải phương trình bậc hai \(x^2 + x + 2024 = 0\) bằng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2024}}{2 \cdot 1}
\]

\[
= \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 8096}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-8095}}{2}
\]

Vì biểu thức dưới dấu căn là số âm, phương trình này sẽ có hai nghiệm phức:

\[
x = \frac{-1 \pm i\sqrt{8095}}{2}
\]

### Kết quả

Tóm lại, các nghiệm của phương trình \(x^3 + 2023x - 2024 = 0\) là:

1. \(x = 1\)
2. \(x = \frac{-1 + i\sqrt{8095}}{2}\)
3. \(x = \frac{-1 - i\sqrt{8095}}{2}\)