Để tính giá trị của biểu thức \( N = x^2 - 8x + 1 \), chúng ta có thể sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi biểu thức này.

Biểu thức \( N \) có thể được viết lại theo dạng hoàn thành bình phương. Cụ thể, chúng ta có thể viết lại như sau:

\[
N = x^2 - 8x + 1 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 1
\]
\[
= (x - 4)^2 - 15
\]

Vậy, biểu thức \( N \) có thể được viết lại thành:

\[
N = (x - 4)^2 - 15
\]

Từ đây, chúng ta có thể thấy rằng giá trị của \( N \) sẽ phụ thuộc vào giá trị của \( (x - 4)^2 \). Do \( (x - 4)^2 \) luôn không âm (lớn hơn hoặc bằng 0), giá trị nhỏ nhất của nó là 0 khi \( x = 4 \).

Khi \( x = 4 \), ta có:

\[
N = 0 - 15 = -15
\]

Vậy, giá trị biểu thức \( N \) đạt giá trị nhỏ nhất là \(-15\) ở \( x = 4 \).

Do đó, giá trị của biểu thức \( N = x^2 - 8x + 1 \) là:

\[
N \geq -15 \text{, với giá trị nhỏ nhất là } -15 \text{ khi } x = 4.
\]