Để rút gọn biểu thức \( A \) và tìm các giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( A \) là số nguyên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Rút gọn biểu thức A

Biểu thức \( A \) được cho là:

\[
A = \frac{\sqrt{x+3} - \sqrt{x-3}}{\sqrt{x}} + \frac{3\sqrt{x-9}}{x + 3\sqrt{x}}
\]

1. **Rút gọn từng phần**:
- Đối với thành phần đầu tiên, chúng ta có thể biến đổi:
\[
\frac{\sqrt{x+3} - \sqrt{x-3}}{\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x+3} - \sqrt{x-3})(\sqrt{x+3} + \sqrt{x-3})}{\sqrt{x}(\sqrt{x+3} + \sqrt{x-3})} = \frac{(x+3) - (x-3)}{\sqrt{x}(\sqrt{x+3} + \sqrt{x-3})} = \frac{6}{\sqrt{x}(\sqrt{x+3} + \sqrt{x-3})}
\]

- Đối với thành phần thứ hai, cần lưu ý rằng \( \sqrt{x-9} \) chỉ xác định với \( x \geq 9 \):
\[
\frac{3\sqrt{x-9}}{x + 3\sqrt{x}}
\]

2. **Gộp lại**:
Giả sử \( x \) là lớn hơn 9, ta có thể thực hiện phép cộng giữa hai phân thức.

### Bước 2: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A là số nguyên

1. **Xác định miền xác định**: Vì \( \sqrt{x-3} \) và \( \sqrt{x-9} \) đều cần rõ ràng và có nghĩa, nên \( x \) phải thỏa mãn: \( x > 9 \).

2. **Kiểm tra các giá trị nguyên**:
Với các giá trị nguyên liên tiếp bắt đầu từ 10, ta sẽ kiểm tra \( A \) cho từng giá trị.

3. **Cách tính**:
Thay đổi lần lượt giá trị của \( x \) và tính ra biểu thức \( A \) cho các giá trị:

- Ví dụ: Cho \( x = 10, 11, 12,... \) và tính giá trị của \( A \).

Kết luận cuối cùng sẽ là tập hợp các giá trị nguyên mà trong đó \( A \) cho ra giá trị nguyên. Thực hiện từng phép tính cụ thể cho từng giá trị \( x \) và kiểm tra kết quả.

Nếu có vùng nào không rõ hoặc cần tính chi tiết hơn, hãy cho biết để có thể hỗ trợ cụ thể hơn nhé!