Để tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 + 2x}{x^3 + 4x^2 + 4x} \), ta cần tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

1. **Tiệm cận đứng**: Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0. Ta giải phương trình mẫu số:

\[
x^3 + 4x^2 + 4x = 0.
\]

Nhân tử ngoài:

\[
x(x^2 + 4x + 4) = 0.
\]

Tìm nghiệm:
- \( x = 0 \).
- Phương trình bậc hai \( x^2 + 4x + 4 = 0 \) có nghiệm:

\[
x = -2 \quad \text{(lặp lại 2 lần)}.
\]

Vậy, tiệm cận đứng là \( x = 0 \) và \( x = -2 \).

2. **Tiệm cận ngang**: Để tìm tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến ra vô cùng:

\[
\lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 + 2x}{x^3 + 4x^2 + 4x}.
\]

Ta nhận thấy rằng bậc của mẫu lớn hơn bậc của tử (2 < 3). Do đó, hàm số sẽ có tiệm cận ngang tại \( y = 0 \) (khi \( x \) tiến ra vô cùng).

**Kết luận**: Số tiệm cận của đồ thị hàm số là 3 (2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang). Vậy đáp án là C. 3.