Để chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình thoi, ta thực hiện như sau:

### a. Chứng minh hình bình hành ABCD là hình thoi

1. **Định nghĩa hình thoi**: Hình thoi là một tứ giác có cả bốn cạnh bằng nhau.
2. **Gia đình hình bình hành**: Trong một hình bình hành, các cạnh đối diện bằng nhau. Do đó, ta có \(AB = CD\) và \(BC = AD\).
3. **Cáp AI và AK**: Theo giả thiết, \(AI \perp CD\) và \(AK \perp BC\). Hơn nữa, \(AI = AK\).
4. **Tam giác AIL và AKB**: Do \(AI = AK\) và hai tam giác này có các góc chung (góc ở A), chúng ta có thể áp dụng định lý tam giác (góc - cạnh - góc) để suy ra rằng:
- \(AB = AD\)
- Tương tự, có \(BC = CD\)
5. **Kết luận**: Khi tất cả các cạnh \(AB\), \(BC\), \(CD\), và \(AD\) đều bằng nhau, ta kết luận rằng ABCD là hình thoi.

### b. Biết \(B = 60^\circ\). Tìm loại tam giác AIK và lý do.

1. **Tam giác AIK**: Trong tam giác này, \(AI\) và \(AK\) bằng nhau (theo giả thiết).
2. **Góc ở B**: Nếu \(B = 60^\circ\), thì do tính chất của hình bình hành, góc D cũng là \(60^\circ\).
3. **Lý giải**: Tam giác AIK là tam giác vuông (do \(AI \perp CD\) và \(AK \perp BC\)), nên đây là tam giác đều (có 2 cạnh bằng nhau và có góc B bằng \(60^\circ\)).

### c. Tính chu vi và góc của hình thoi ABCD

1. **Chu vi của hình thoi ABCD**:
- Chu vi \(P = 4 \times AB\) (vì \(AB = BC = CD = AD\))
- Ta biết tổng chu vi là 16 cm, do đó mỗi cạnh dài \(AB = \frac{16}{4} = 4\, \text{cm}\).

2. **Tính độ dài của \(DI\)**:
- Theo dữ kiện \(DI = 2\, \text{cm}\), góc tại \(D\) cho ta khả năng tính góc theo định lý hình thoi.

3. **Góc của hình thoi**:
- Ta có thể tính góc \(A\) và \(C\) bằng cách sử dụng tỉ số điểm giữa \(B\) và \(D\).
- Tổng các góc trong tứ giác bằng \(360^\circ\), và do ABCD là hình thoi:
- \(A = C\)
- \(B + D = 120^\circ\) (vì mỗi góc B và D bù nhau).

### Kết quả
- Hình bình hành ABCD là hình thoi với chu vi 16 cm và độ dài cạnh 4 cm.