Rút gọn biểu thức O. Tìm giá trị của a nguyên để O nguyên

Để rút gọn biểu thức \( O \) và tìm giá trị của \( a \) sao cho \( O \) là số nguyên, ta bắt đầu với biểu thức mà bạn đã cho:

\[
O = \frac{1}{\sqrt{a} - 1} + \frac{1}{\sqrt{a} + 1}
\]

**Bước 1: Rút gọn biểu thức \( O \)**

Ta có thể tìm mẫu chung và cộng hai phân thức:

\[
O = \frac{(\sqrt{a} + 1) + (\sqrt{a} - 1)}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)} = \frac{2\sqrt{a}}{a - 1}
\]

**Bước 2: Tìm giá trị của \( a \) nguyên để \( O \) nguyên**

Biểu thức \( O \) sẽ là số nguyên nếu \( \frac{2\sqrt{a}}{a - 1} \) là số nguyên. Để điều này xảy ra, \( a - 1 \) phải là ước của \( 2\sqrt{a} \).

Gọi \( a = k^2 \), với \( k \) là số nguyên không âm (vì \( a \) phải không âm để có căn bậc hai):

\[
O = \frac{2k}{k^2 - 1}
\]

**Bước 3: Điều kiện để \( O \) nguyên**

\( O \) nguyên khi \( k^2 - 1 \) là ước của \( 2k \).

- Nếu \( k = 1 \): \( O = \frac{2 \cdot 1}{1 - 1} \) (không xác định)
- Nếu \( k = 2 \): \( O = \frac{2 \cdot 2}{2^2 - 1} = \frac{4}{3} \) (không nguyên)
- Nếu \( k = 3 \): \( O = \frac{2 \cdot 3}{3^2 - 1} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \) (không nguyên)
- Nếu \( k = 4 \): \( O = \frac{2 \cdot 4}{4^2 - 1} = \frac{8}{15} \) (không nguyên)

Tiếp tục thử các giá trị khác cho đến khi tìm thấy các giá trị của \( k \) làm cho \( O \) trở thành số nguyên.

Tóm lại, bạn cần thử nghiệm với các giá trị nguyên của \( a \) (có thể là \( 0, 1, 4, 9, ... \)) và kiểm tra tính nguyên của \( O \).