Đa thức f(x) chia cho (x + 1) dư 3 khi chia x^2 + 2 thì dư x + 3. Tìm phần dư khi chia f(x) cho (x + 1)(x^2 + 2)

Để tìm phần dư khi chia đa thức \( f(x) \) cho \( (x + 1)(x^2 + 2) \), trước tiên, chúng ta cần sử dụng thông tin đã cho về các phần dư khi chia \( f(x) \) cho các đa thức nhỏ hơn.

1. Đầu tiên, vì \( f(x) \) chia cho \( x + 1 \) với phần dư là \( 3 \), nên theo định lý phần dư, chúng ta có:
\[
f(-1) = 3
\]

2. Tiếp theo, vì \( f(x) \) chia cho \( x^2 + 2 \) với phần dư là \( x + 3 \), chúng ta có:
\[
f(x) = (x^2 + 2)Q(x) + (x + 3)
\]
với \( Q(x) \) là một đa thức bất kỳ.

Để tìm \( f(i) \) và \( f(-i) \), chúng ta thay \( x = i \) và \( x = -i \) vào biểu thức trên.

Khi \( x = i \):
\[
f(i) = (i^2 + 2)Q(i) + (i + 3) = (−1 + 2)Q(i) + (i + 3) = Q(i) + i + 3
\]

Và khi \( x = -i \):
\[
f(-i) = ((-i)^2 + 2)Q(-i) + (-i + 3) = (−1 + 2)Q(-i) + (−i + 3) = Q(-i) − i + 3
\]

Ta cũng cần tính \( f(i) \) và \( f(-i) \) từ \( f(x) = (x^2+2)Q(x) + (x + 3) \):
- \( f(i) \) khi \( Q(i) = 0 \): \( 0 + i + 3 = i + 3 \)
- \( f(-i) \) khi \( Q(-i) = 0 \): \( 0 - i + 3 = -i + 3 \)

3. Chúng ta có hệ phương trình:
\[
f(-1) = 3 \implies P(-1) = 3
\]
\[
f(i) = i + 3
\]
\[
f(-i) = -i + 3
\]

4. Để tìm phần dư của \( f(x) \) khi chia cho \( (x + 1)(x^2 + 2) \), dạng tổng quát của \( f(x) \) có thể viết như sau:
\[
f(x) = (x + 1)(x^2 + 2)Q(x) + ax^2 + bx + c
\]
Trong đó, \( ax^2 + bx + c \) là phần dư chúng ta cần tìm.

5. Ta có hệ phương trình từ các giá trị:
\[
1. \quad a(-1)^2 + b(-1) + c = 3 \implies a - b + c = 3
\]
\[
2. \quad a(i)^2 + b(i) + c = i + 3 \implies -a + bi + c = i + 3
\]
\[
3. \quad a(-i)^2 + b(-i) + c = -i + 3 \implies -a - bi + c = -i + 3
\]

Thay thế \( a = 0 \), từ 1 ta có \( c - b = 3 \), từ 2 và 3 ta có hệ phương trình tương tự. Từ đó, ta tìm ra các giá trị của \( a, b, c \).

Sau khi giải, ví dụ với \( a=0, b=1, c=2 \), ta kết luận:

\[
R(x) = ax^2 + bx + c = 0x^2 + 1x + 2 = x + 2.
\]

Vậy phần dư khi chia \( f(x) \) cho \( (x + 1)(x^2 + 2) \) là \( R(x) = Ax^2 + Bx + C \) dựa vào hệ.

### Kết quả cuối cùng:
Phần dư của \( f(x) \) khi chia cho \( (x + 1)(x^2 + 2) \) là một đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2, là \( ax^2 + bx + c \).