Đa thức f(x) chia cho (x + 1) dư 3 khi chia x^2 + 2 thì dư x + 3. Tìm phần dư khi chia f(x) cho (x + 1)(x^2 + 2)

Để tìm phần dư khi chia \( f(x) \) cho \( (x + 1)(x^2 + 2) \), chúng ta cần sử dụng thông tin về phần dư khi chia \( f(x) \) cho \( x + 1 \) và \( x^2 + 2 \).

**Bước 1: Xác định phần dư khi chia cho từng phần**

- Khi chia \( f(x) \) cho \( x + 1 \), ta có dư là 3. Theo định lý phần dư, ta có:
\[
f(-1) = 3.
\]

- Khi chia \( f(x) \) cho \( x^2 + 2 \), ta có dư là \( x + 3 \). Điều này có nghĩa là:
\[
f(x) = (x^2 + 2)Q(x) + (x + 3),
\]
với \( Q(x) \) là một đa thức nào đó. Để tìm các điều kiện, ta có thể xác định giá trị của \( f(x) \) tại các điểm mà \( x^2 + 2 = 0 \). Các nghiệm của \( x^2 + 2 = 0 \) là:
\[
x = i\sqrt{2}, \quad x = -i\sqrt{2}.
\]

- Đánh giá \( f(i\sqrt{2}) \) và \( f(-i\sqrt{2}) \):
\[
f(i\sqrt{2}) = i\sqrt{2} + 3,
\]
\[
f(-i\sqrt{2}) = -i\sqrt{2} + 3.
\]

**Bước 2: Xây dựng hệ phương trình**

Bây giờ, ta đã có:
1. \( f(-1) = 3 \)
2. \( f(i\sqrt{2}) = i\sqrt{2} + 3 \)
3. \( f(-i\sqrt{2}) = -i\sqrt{2} + 3 \)

Giả sử phần dư của \( f(x) \) khi chia cho \( (x + 1)(x^2 + 2) \) có dạng:
\[
R(x) = ax^2 + bx + c.
\]
Do đó, khi thay thế các giá trị \( x \) vào \( R(x) \), ta có các phương trình sau:
1. \( R(-1) = 3 \)
2. \( R(i\sqrt{2}) = i\sqrt{2} + 3 \)
3. \( R(-i\sqrt{2}) = -i\sqrt{2} + 3 \)

**Giải hệ phương trình:**

Thay \( x = -1 \):
\[
R(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c = 3.
\]

Thay \( x = i\sqrt{2} \):
\[
R(i\sqrt{2}) = a(i\sqrt{2})^2 + b(i\sqrt{2}) + c = -2a + bi\sqrt{2} + c = i\sqrt{2} + 3.
\]

Thay \( x = -i\sqrt{2} \):
\[
R(-i\sqrt{2}) = a(-i\sqrt{2})^2 + b(-i\sqrt{2}) + c = -2a - bi\sqrt{2} + c = -i\sqrt{2} + 3.
\]

**Bước 3: Giải các phương trình này để tìm \( a, b, c \)**

Từ ba phương trình này, bạn có thể giải theo cách thông thường để tìm ra hằng số \( a, b, c \).

Sau đó, phần dư khi chia \( f(x) \) cho \( (x + 1)(x^2 + 2) \) sẽ được xác định bởi đa thức \( R(x) = ax^2 + bx + c \).