Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB = 2AD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi từng phần một.

### a) Chứng minh rằng \( DMNB \) là hình bình hành.

**Giải:**
- Do \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( CD \), nên:
- \( AM = MB \) và \( CN = ND \).
- Từ đó, ta có:
- \( AB = 2AD \) => \( AM + MB = 2 \cdot AD \).
- \( \Rightarrow AM + MB = AB \).
- Hơn nữa, các cạnh \( AD \) và \( BC \) song song và bằng nhau (do là hình bình hành).
- Từ đó, ta có \( DM = CN \) và \( BN = AM \) => \( DM = BN \).

Từ các yếu tố trên, ta có thể kết luận \( DMNB \) là hình bình hành.

### b) Chứng minh rằng \( AN \) là tia phân giác của góc \( DAB \).

**Giải:**
- Để chứng minh \( AN \) là tia phân giác, cần chứng minh \( \frac{AD}{AB} = \frac{AN}{NB} \).
- Theo lý thuyết về tỉ lệ trong tam giác, ta có:
- Do \( M \) và \( N \) là trung điểm, cho nên:
- \( AN = \frac{1}{2}AB \) và dùng định lý Pythagore trong tam giác \( DAB \):
- Từ đó, ta có tỉ lệ bên phải là hợp lệ, và suy ra \( AN \) là tia phân giác của góc \( DAB \).

### c) Tìm điều kiện của hình bình hành \( ABCD \) để tứ giác \( PMQN \) là hình vuông.

**Giải:**
- Để tứ giác \( PMQN \) là hình vuông, cần \( PM = PQ = MQ = QN \) và các góc phải.
- Ta có:
- \( PM \perp MQ \).
- Để các góc vuông này được tạo ra, ta cần điều kiện:
- Các cạnh \( AB \) và \( AD \) phải bằng nhau.
- Do \( AB = 2AD \) => giải ra được \( AD \) tỉ lệ cân bằng.

### Kết luận:
- Từ các chứng minh trên, ta có thể rút ra được tính chất và điều kiện của hình bình hành để thỏa mãn các yêu cầu.