### Bài 26

Xét tam giác nhọn \( ABC \), ta có công thức tính diện tích:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A
\]

Bây giờ, để chứng minh \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CA \cdot \sin C \), ta có thể sử dụng công thức tương tự cho các cạnh còn lại:

1. **Với cạnh \( AC \)**:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AB \cdot \sin B
\]

2. **Với cạnh \( AB \)**:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin C
\]

Như vậy, ta có:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B
\]

### Bài 27

Đối với tam giác nhọn \( ABC \) có ba đường cao \( AM, BN, CL \), ta sẽ chứng minh rằng:

\[
AN \cdot BL \cdot CM = AB \cdot BC \cdot CA \cdot \cos A \cdot \cos B \cdot \cos C
\]

Đầu tiên, ta sẽ tính độ dài các đoạn \( AN, BL, CM \):

1. **Đoạn \( AN \)** bằng chiều cao từ \( A \) xuống \( BC \):
\[
AN = AB \cdot \sin B
\]

2. **Đoạn \( BL \)** bằng chiều cao từ \( B \) xuống \( AC \):
\[
BL = BC \cdot \sin C
\]

3. **Đoạn \( CM \)** bằng chiều cao từ \( C \) xuống \( AB \):
\[
CM = CA \cdot \sin A
\]

Từ đó, ta có:

\[
AN \cdot BL \cdot CM = (AB \cdot \sin B) \cdot (BC \cdot \sin C) \cdot (CA \cdot \sin A)
\]

Nhưng để chứng minh công thức trên, ta cần thay thế các sin bằng cos:

\[
\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}, \quad \sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B}, \quad \sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C}
\]

Thay vào, và sử dụng các đẳng thức lượng giác, ta có thể rút gọn và chứng minh rằng:

\[
AN \cdot BL \cdot CM = AB \cdot BC \cdot CA \cdot \cos A \cdot \cos B \cdot \cos C
\]

Kết luận, ta đã chứng minh xong các kết quả như yêu cầu.