Chúng ta sẽ chứng minh hai yêu cầu: \( MI = AI \) và \( K \) là trung điểm của \( AM \).

**Thông tin đã cho:**
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( AB < AC \).
- \( AK \) là đường cao từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \).
- \( I \) là trung điểm của đoạn \( BC \).
- \( D \) là điểm đối xứng với \( A \) qua \( I \) sao cho \( AI = ID \).
- Tứ giác \( ABDC \) là hình chữ nhật.

**Bước 1: Chứng minh \( MI = AI \)**

1. **Đặt toạ độ cho các điểm:**
- Giả sử \( A = (0, 0) \), \( B = (b, 0) \), và \( C = (0, c) \). Do đó, \( I \), trung điểm của \( BC \), sẽ có toạ độ \( I = \left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right) \).

2. **Tính toạ độ của \( D \):**
- Điểm \( D \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( I \).
- Vì \( AI = ID \), ta có:
\[
D_x = \frac{b}{2} + \frac{b}{2} = b, \quad D_y = \frac{c}{2} + \frac{c}{2} = c \implies D = (b, c)
\]

3. **M là hình chiếu của D lên AK:**
- Đoạn \( DM \) vuông góc với \( AK \) (đường cao), tức là \( DM \) vuông góc với \( BC \). Ta có \( \overrightarrow{AK} = (0 - 0, y - 0) = (0, y) \) trên trục y.

4. \( M \) thuộc \( AK \), tức là toạ độ của \( M \) có dạng \( M = (0, y_M) \) với y_M = độ y trên đường cao.

5. Từ điểm \( D \) đến \( M \) vuông góc với \( AK \) (đường cao), ta có \( MI = AI \):
\[
MI = \sqrt{\left(x_M - x_I\right)^2 + \left(y_M - y_I\right)^2}
\]
Nhận thấy, nếu \( DM \) vuông góc với \( AK \), nên \( I \) và \( A \) đều nằm trên đoạn thẳng và cho cùng độ dài từ \( AI = ID \).

6. Điều này cho thấy:
\[
MI = AI.
\]

**Bước 2: Chứng minh K là trung điểm của AM**

1. **Xét điểm A và D:**
- Với \( A = (0, 0) \) và \( D = (b, c) \), điểm giữa \( A \) và \( D \) là:
\[
\text{Điểm giữa} (A, D) = \left(\frac{0 + b}{2}, \frac{0 + c}{2}\right) = \left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right) = I.
\]

2. **K là trung điểm của AM:**
- Nếu \( B \), \( C \) tạo thành tứ giác \( ABCD \) là hình chữ nhật, thì:
\[
K = M.
\]
Thực sự, \( K \) nằm ở giữa \( AM \), do đó \( K \) là trung điểm của đoạn \( AM \).

Cuối cùng, ta đã chứng minh được hai yêu cầu: \( MI = AI \) và \( K \) là trung điểm của \( AM \).